量子力学のポテンシャルの中心で正則な動径波動関数の、半径での対数微分は何を意味しているのでしょうか?

A 回答 (1件)

ポテンシャルの形が r=R で切り替わるとき,


波動関数を接続する条件として使われます.
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この回答へのお礼

助かりました。本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/07/11 13:07

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Q量子力学 井戸型ポテンシャルの最低エネルギーについて

現在,院試の勉強をしている者です.

"0<x<aの範囲でポテンシャルが0で他の範囲では∞"
というような無限の井戸型ポテンシャルの最低エネルギーと,
"0<x<aの範囲でポテンシャルが0で他の範囲ではV"
というような有限の時の最低エネルギーを比べると,後者の最低エネルギーの方が低くなることを簡潔に説明せよ,という問題で困っています.

有限のときにはx<0,a<xのような範囲でも粒子の存在する確立があるのでその辺りのことと関係があるのではないかなと思ってはいるのですが,残念ながら明確な答えがまったくわかりません.
もしよろしければご教授お願いいたします.

Aベストアンサー

不確定性原理です。
仰るように、有限のポテンシャル壁の場合は
波動関数が染み出します。つまり、存在確率が
それだけ広がります。ということは、不確定性原理
ΔxΔp≧h/4πにより、Δpが無限壁の場合より小さくなります。無限壁の場合、波動関数は全く染み出さないからΔxも有限壁より小さいのです。

Q量子力学(中心力場の波動方程式)

中心力場の波動方程式を変数分離して、角度部分(φ)の方程式

∂^2/∂φ^2 Φ = - m^2 Φ

を解くときの質問です。普通の教科書では、この答えは、

A exp( imφ )

とものすごくすんなり出していますが、何故重ね合わせを考えて、

A exp( imφ ) + B exp( -imφ )

と書かないのでしょうか?(書いてはいけない?)重ね合わせを考えないと一般解にはならないと思うのですが・・・。

Aベストアンサー

>何故重ね合わせを考えて、Aexp(imφ) + Bexp(-imφ)と書かないか?
結論を言えば、物理的な解釈を加えているからです。2次元の角運動量演算子はh/i*∂/∂φとなりますね。固有方程式は、
h/i*∂Φ/∂φ=hmΦ・・・(A)
となります。ただしhはhバーです。
この角運動量と関連づけるために、
A exp( imφ ) + B exp( -imφ )
ではなく、
A exp( imφ )
とするのです。
(A)式については量子力学の教科書を見てください。

Q量子力学・電子のスピンの波動関数

以下のURLに載せた問題の(2)が分かりません。
http://www.picamatic.com/view/9370217_DSC_0342/

エイチバーをh'と書きます。
そもそもこの問題の状況がつかめないのですが、磁場がz方向にかかっているということは、電子のスピンの向きはz方向を向いている思うのですが、t=0でスピンの向きはx軸の正の方向を向いているということは、t=0の瞬間にz方向に磁場を掛けたということなのでしょうか?

とりあえず、状況があまりつかめないまま(2)にとりかかってみました。

スピンの任意の方向は、(1 0)_t(転置)と (0 1)_t の一次結合で表せるので、
a(1 0)_t + b(0 1)_t =(a b)_t
これを(h'/2)σ_x に作用させると、
(h'/2)(b a)
となり、a=b のとき固有状態となるので、規格化条件より、
a=b=1/√2
よって
Χ(0)=1/√2(1 1)_t

この考え方は合ってますでしょうか?

あともう一つ質問があって、(3)で時間に依存するシュレーディンガー方程式を書くとき、このときのハミルトニアンは、(1)で導出した、B(μ_B)σzだけでいいらしいのですがそれはなぜなのでしょうか?
ポテンシャルエネルギーがゼロなのはクーロン力が働いていないからいいとして、運動エネルギー演算子は必要ではないのでしょうか?

以下のURLに載せた問題の(2)が分かりません。
http://www.picamatic.com/view/9370217_DSC_0342/

エイチバーをh'と書きます。
そもそもこの問題の状況がつかめないのですが、磁場がz方向にかかっているということは、電子のスピンの向きはz方向を向いている思うのですが、t=0でスピンの向きはx軸の正の方向を向いているということは、t=0の瞬間にz方向に磁場を掛けたということなのでしょうか?

とりあえず、状況があまりつかめないまま(2)にとりかかってみました。

スピンの任意の方向は、(1 0)_t(転置)と (0 ...続きを読む

Aベストアンサー

siegmund です.

> つまり、H(zeeman)=(μ_B)Bσz
> でも良いということなのでしょうか?
> 私が使っている量子力学の教科書は、
> 著:小出昭一郎 量子力学(I) です。
> この教科書には、磁束密度(B→)中における磁場のスピンのゼーマンエネルギーHは、ボーア磁子をβとすると、
> H=2β(S→)・(B→)/h'
> となっています。
> こちらの表記法は少数派ということなのでしょうか?

いくつか手元の本を見てみました.
量子力学のテキストでは両方ありますね.
磁性のテキストでは負号派がかなり多数です.
磁性で負号派が多いのは,直接観測にかかったりする量は角運動量ではなくて
磁気モーメントだからでしょうね.
私は負号派です.

あと,パウリ行列 σ_x,σ_y,σ_z の定義はどの本でも同じと思いますが,
S_x,S_y,S_z の方は h' がついている定義とついていない定義があります.
godfather0801 さんの定義は h' がついている方ですね.
「電子のスピンの大きさは 1/2」というときは,
h' をつけない定義で話をしていることになります.
あるいは h'=1 とする単位系を用いているか.

> また、他大の院試を受けるときにこちらで書いてペケをもらうことはないのでしょうか?

私が採点者ならペケにしたり減点したりはしませんね.
院試はたいてい記述式でしょうから,
正号なら「電子の角運動量と磁気モーメントは逆向きだから」
負号なら「量子スピンでは通常この記法にする」
などちょっと書いておけば文句のつけようがないでしょう.

siegmund です.

> つまり、H(zeeman)=(μ_B)Bσz
> でも良いということなのでしょうか?
> 私が使っている量子力学の教科書は、
> 著:小出昭一郎 量子力学(I) です。
> この教科書には、磁束密度(B→)中における磁場のスピンのゼーマンエネルギーHは、ボーア磁子をβとすると、
> H=2β(S→)・(B→)/h'
> となっています。
> こちらの表記法は少数派ということなのでしょうか?

いくつか手元の本を見てみました.
量子力学のテキストでは両方ありますね.
磁性のテキストでは負号派がかなり多数です.
磁性で負号派...続きを読む

Q磁場ある時の量子力学 ベクトルポテンシャルの線積分の位相について

磁場ある時の量子力学についてい質問します。自分は場の量子論についてはほとんど知識がありません。物理学科の学生です。

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Aベストアンサー

波動関数を
ψ(r,t)=exp(ie∫Adr)ψ0(r,t) (積分の上端は位置r)
とおいて、シュレーディンガー方程式に代入すれば、ψ0が磁場の無いときのシュレーディンガー方程式を満たすことが確認できるはずです。

おそらく状態1,2は局在した状態だと思いますので、積分の上端を局在の位置に置き換えて、exp(ie∫Adr)が位置に依らない定数だと思えば、ご質問のファクターがでてきます。

AB効果の計算とやる事は同じなので、こちらをお調べになった方が見つけやすいと思いますよ。

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有限深さの井戸型ポテンシャルの問題はポテンシャルの有る領域と無い領域とで2つのシュレディンガー方程式を立てますよね。 これは当然なんですが、その粒子のエネルギーEとポテンシャル障壁Vとの大小関係、つまりE>Vなのか0<E<Vなのかで場合分けする必要は無いのでしょうか。階段型ポテンシャルやトンネル効果の問題ではエネルギーにおける場合分けはしているのですが、有限井戸型ポテンシャルの問題では場合分けをしてる参考書があまり無いような気がします。授業でも先生はE>V、0<E<Vとで場合分けはしていませんでした。場合分けしないのは階段型とは違って透過や反射に焦点を当てていないからですか?

どなたか宜しくお願いします。

Aベストアンサー

E<Vなら束縛問題、E>Vなら散乱問題になるので性格が全く異なります。
井戸型ポテンシャルはたいがいは束縛問題で扱う物なので、
普通はE<Vの場合しかやらないと思います。
おそらく、講義の最初にそんなことを言っていると思いますけどね。


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