数3 積分

この丸で囲った部分の式変形を教えてください

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/12/27 12:13

すみません！例が良くなかったです。

微分の逆と考えてください！
y=f(x)において、y'=｛ f(x)｝'・f'(x)ですから、積分して
∫ ydy=∫｛f(x)｝・f'(x)dxから考えてください！

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/12/27 11:56

tanxというように、三角関数だからわかりにくいが、例えば、

∫ 2x dx=2∫ xdx=2・x^(1+1) /(1+1)+C=x^2 +Cだが、
2x=yとおけば、2dx=dy ∴dx=(1/2)dy
∫ 2xdx=∫y・(1/2)dy=(1/2)∫ ydy=(1/2)y^(1+1) /(1+1) +C
=(1/2)y^2 /2 +C=y^2 /4 +C=(2x)^2 /4 +C=x^2 +C

yをつかわなければ、
∫ 2xdx=∫ 2x (2x)' dx=x^2+C 2xはx^2の原子関数で、(x^2)'=2x だから！

同様に、tanxでも同じです。
∫ 0…π/4 (tanx)^n-2 (tanx)' dx=［(1/ n-1) tan^n-1 x ］π/4→0

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2017/12/26 21:57

∫f(x)^(n-2)f'(x)＝f(x)^(n-1)/(n-1)

という（ごく当たり前の）ことです。

逆向きに考えてみる（微分をとってみるとわかりやすいかも）
d/dx{f(x)^(n-1)｝＝（n-1）・f(x)^(n-2)・f'(x)
ですよね。　両辺を（ｎ-1）で割ると上の式になります。