質問1: A≦BでC<BならばC<A≦Bと言えるか?
質問2: f’(x)とf’’(x)が存在しないときf(x)は存在するか?理由をつけて説明しなさい。
質問3: 連続と微分可能がよくわからないんですけど、この2つにはどんな関係が(意味上の)あるんですか?
質問4: どのようなときに『連続であり微分可能』と断らなくてはならないんですか?

A 回答 (3件)

質問3・4に対する回答:



一変数の関数f(x)が定義域内のある点aで微分可能であるということは
関数f(x)の定義域内のある点x=aにおいてf(a)が連続かつ、
次の式を満たすことである。

lim { f(x)-f(a) } / { x-a } 
x→+a 
      =

lim { f(x)-f(a) } / { x-a } 
x→-a    

 (右からの極限 = 左からの極限)

このとき
lim { f(x)-f(a) } / { x-a } = f'(a)  
x→a              
がf(x)の点aにおける微分係数である。

よって、連続であるが微分可能でない関数があるので、
微分を必要とする場合は微分可能と断らなくてはならない。
また、定義から微分可能であれば連続。

(例) f(x) = x (x>=0)
-x (x<0 )
f(x)はx=0において連続であるが微分可能でない。

質問2に対する回答:

1つでもそのような関数が存在するかという問いに対しては、
上記の例がその回答です。
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質問3


連続とは、1変数の場合
関数f(x)の定義域内のある点x=aにおいてf(a)が定義されていて、
lim f(x)=f(a)
x→a
ならば連続であるという。
イメージとしては、グラフを描いたら途切れるところがなくて尖った所もないような感じじゃないでしょうか。

ちなみに関数が連続である区間でしか微分可能ではありません。
微分ってのはとりあえず接線の傾きを表してるって思えばいいと思います。尖った所は接線がいくつも描けちゃいますよね。そうすると連続でないときは微分できないってのがイメージとして感じられないでしょうか。
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とりあえず,質問1だけ(^_^;).



例えば,3≦5で4<5ですが,4<3≦5ではないですね.

それとも,問題の意味は,A≦BとなるすべてのBについてC<Bということでしょうか?
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絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
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   b2(x-a1)>-b1(x-a2)
   これを解いて、x>(a1b2+a2b1)/(b1+b2)
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   省略しますが a2>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となり
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#3です。

まず、自己補足。
文脈から判断すると、「条件」という言葉は「十分条件」の意味で
用いられていると判断するのが妥当。

ただ、(0,1)で導関数が非負であることだけで、[0,1]で単調増加といえないことは
先の反例のとおり。
(0,1)で導関数f’(x)≧0 に加え
[0,1]でfが連続 とかいった隠れた条件があるとのではないかというのが推測。


もとより、導関数の存在等は単調増加であることの必要条件ではない(不連続関数で単調増加のものがあるから)ので、文脈上「条件」が「必要十分条件」とはならないことは自明でした。

以上、自己補足

---
???
  誤解のないよう追記。
 「連続関数で」「両端を除く開区間で f'>0 が必要十分です」は「≧」では?

 (-1,1)における、f(x)=x^3 の x=0 で、f'(0)=0 だけど単調増加ですよね。
 
  この単調増加は、狭義単調増加。

   ついでに補足すると、一般には
  x<y ⇒ f(x)<f(y) は狭義単調増加
  x<y ⇒ f(x)≦f(y) が広義単調増加 が定義。
  (x=y ⇒ f(x)=f(y) はいうまでもないことじゃないですか・・)

  

#3です。

まず、自己補足。
文脈から判断すると、「条件」という言葉は「十分条件」の意味で
用いられていると判断するのが妥当。

ただ、(0,1)で導関数が非負であることだけで、[0,1]で単調増加といえないことは
先の反例のとおり。
(0,1)で導関数f’(x)≧0 に加え
[0,1]でfが連続 とかいった隠れた条件があるとのではないかというのが推測。


もとより、導関数の存在等は単調増加であることの必要条件ではない(不連続関数で単調増加のものがあるから)ので、文脈上「条件」が「必要十...続きを読む


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