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バイトで、中学一年生の授業を担当しているんですけど、この前反比例の解説を行いました。そのとき、Xの値が0のときはYの値はないと言った時、生徒からなんで??と質問されました。どう返答すればいいか困ってます。Xの値を限りなく0に近づければYの値は無限になってしまうからという返答でもいいと思いますか?あと、個人的な質問なんですがXの値を0に飛ばすのではなくて、0という値で割ったときなんで解無しなんですか?頭悪い質問ですが回答していただいたらうれしいです。よろしくお願いします。

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A 回答 (12件中1~10件)

 #8 cozycube1です。

再びお邪魔します。
 仮にy÷0=y/0=w (yは0でない実数, wは実数)と答が出ると仮定します。つまり0で割ってもよいとします。
 0で割ってもよいと仮定したので、これが「割られる数と割る数が等しいなら答は1(z/z=1, z:0でない実数)」がz=0の場合にも成り立つことになります。即ち、0/0=1。
 さらに、どんな実数に0を掛けても答は0(y×0=0)であること、及び、仮定より当然の帰結として導かれた「0/0=1」に注意して、y/0=w の両辺に0を掛けて、式を変形してみます。
  (y/0)×0=w×0 ∴(y×0)/0=w×0 ∴0/0=w×0
  ∴1=w×0 ∴1=0
 1=0というのは、小学校の算数でも中学の数学でも、成り立ちません。成り立てば等号(=)が意味を成さなくなり、算数も数学も根底から覆ります。
 1=0という結果がでたのは、「0で割ってもよい」という仮定だけから導かれたものです。
 従って、その仮定は成り立たないことになります。
 即ち、0で割ることはできない、ということになります。
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全くの素人ですが。

以下の計算方法で説明はできませんでしょうか。
反比例の式をY=1/Xとして、X=0のとき
ゼロをA-Aの式にあらわして前式に入れると
Y=1/(A-A) A:整数
両辺に(A-A)を掛けると
Y(A-A)=1X(A-A)/(A-A)
AY-AY=1
0=1となり
この等式が成り立たないので「ゼロで割る」ことはできないという説明はいかがでしょうか。
計算の間違いについては自信がありません。
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 いきなり「0で割り算をしてはいけない」…とはいわれても無理ですよね、中学生には。



 中学生なので、極限の話は難しいと思いますが、敢えて感覚的にやってみてはいかがでしょうか?本当の証明ではないのですが……

 まず、グラフ用紙を用意します。

y=1/xという関数について、
x=1とするとy=1
x=0.1とするとy=10
x=0.01とするとy=100
x=0.001とするとy=1000
x=0.0001とするとy=10000
……ひたすら続けて……
x=0.000000000000001とするとy=1000000000000000
………………
とひたすら計算させてみます。
どこまでも大きくなりますね?
負の場合も同様にどこまでも小さくなっていきます。

 さて、ここで仮にx=0でyの値Pがあるとします。0でないx=aのときのyの値をQとしたとき、Pの値はa>0ならP>Q、a<0ならP<Qでなければならないことが、先ほどの計算またはグラフからわかります。そしてaをどんどん0に近づけていくと、PがQに追い上げられていき、存在範囲がだんだん極めて大きなところか、極めて小さなところに絞られていきます。それがひたすら続くので、Pはすべての数の世界から”締め出されて”しまって、もはや存在することが出来なくなってしまいます。
 よって、x=0の時にはyの値は定められないという事になります。


 感覚的なところが多いのですが、こういった説明はいかがでしょうか?
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この回答へのお礼

なるほど・・・。中1には感覚的なところがあるほうが逆にいいかもしれません。明日、早速中1の授業があるので、試したいと思います。ありがとうございます。tacky-expressさんだけじゃなくてほかの皆さん、多くの回答をよせていただいてありがとうございました。

お礼日時:2004/09/29 23:14

除数=0は"今の"割り算の定義域にはないのです。


 中1のワル: Q×(Q-{0})→Q
小3の頃には、被序数が除数の倍数でない組も定義域になかったです。
 小3のワル: {(x,y);y|x}→整数
あの頃は1÷3は不可能でした。それと同じことです。

…というのはどうですか?
「定義域」がちょっと難しいですか?
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 皆様が回答されておられる通り、要はX÷0の解はないということですね。


 「無限大になる」という(便宜的な)説明もあり得ないわけではありませんが、あまり適切ではありません。というのも、「無限大」は数ではないからです。
 「無限大」即ち∞が数でない証拠としては、簡単な計算を試みてみればわかります。
 ∞ + 1 = ∞, 両辺から∞を引けば、1 = 0
といった具合におかしな結果をいくらでも引き出せます。つまり、無限大は数を考えるときに補助的にでてくる概念であって、数として取り扱えるものではありません。
 ただ、中学1年生には手に余るのではないかと思います。まず「極限値」の概念を理解して、それから考えることができる問題ではないかと考えます。
 ある程度の説明をして、「きちんと理解するには、もっと数学を学んだ後でないと、かえって勉強の邪魔になります。」といって切り上げてしまったほうが、生徒さんにとっても親切であると思います。なんとなれば、基礎的な理解なしに「わかったつもり」になってしまうと進歩が止まってしまいかねないからです。

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 この話題がでると、大抵でてくるのが「0÷0はいくつか?」。
 Yを任意の有限の数とすると、「Y × 0 = 0」だから、「0 ÷ 0 = Y (即ち、任意の有限の数)」になるのではないか? つまり、割られる数が0のときは例外なのではないか?
 実際は、これはできない計算なのですが、中学1年生にきちんと説明するのは無理でしょうね(なぜなら、それを考えるための基礎をまだ教わって9ないはずですから)。
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生徒さんも身近に接している電卓を使って0で割ったときERRORになることを示せば,少し納得してくれませんでしょうか。

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y = 1 / x


という関数があるとして、
x = 0 以外のときは 1 / x の値が出せますが、
x = 0 のときは 1 / 0 の値は出せません。
ゼロで割ることはできないのです。
だから x = 0 のときの y は存在しません。

無限という単語を出すと混乱します。
例えば、 y = 1 / x の場合、
x をプラスのほうからゼロに近づけていけば y は限りなく大きくなります(x→+0 のときの極限は +∞)
逆に x をマイナスのほう(グラフで書くと0より左側)からゼロに近づけていけば y は限りなく小さくなります(x→-0 のときの極限は -∞)
つまり「x を限りなく0に近づけたとき」でさえ、∞になるか-∞になるか両方の場合があるのです。
無限というややこしい考え方を持ち出すのではなく、
単に「ゼロで割ることはできない」だけのほうがいいでしょう。

では、なぜ「ゼロで割ることができない」のか。
それは割り算が掛け算の逆をしているからです。
2 × □ = 10
この場合 □ = 10 ÷ 2 = 5 です。
では、
0 × □ = 10
この場合、0をかけて10になる数字はありません。
□に合う数字はありません。
なので、□ = 10 ÷ 0 の結果は存在しないのです。
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反比例というのは、XとYの積が一定ということですよね?



ならば、その積をRとすると、
X*Y=Rになります。
ここから、Y=R/Xという式が導き出せますよね?

この式を根拠にすると、「Xの値が0のときはYの値はない」ということが説明できます。

なぜなら、0という「存在しないもの」でRを割ることなんてできませんよね?
(それでもわからないようでしたら、「ケーキを0人に切り分けることなんてできないよね?人がいないんだから」
という身近な例を出せばわかると思います。)
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反比例ってのは、xyが一定のときなんだよ。


xy=10とか考えてごらん。x=0のとき、どんな数字をもってきてもxy=0でしょ。だから、x=0のときは、解がないんだな。
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中学校ですか? 塾ですか?



中一で無限大の概念を既に学習しているかどうか、私にはわかりませんが、とりあえず中一レベルでしたら、厳密な理屈よりも具体例で説明したほうがわかりやすいのではないでしょうか。

距離一定のときの時間と速度(速さ)との関係とか。
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