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流体力学について質問です。

問.
断面積A、速度uの噴流の方向を、固定された曲面板によって角度θだけ曲げれば、板には
F=2ρAu^2 sin(θ/2)
の力が働くことを示せ。ρは流体の密度である。

解答.
単位時間あたりの運動量保存則を用いる。流体が板に及ぼす力をFとする。解図4.1を参照のこと。
Fx=ρAu^2 (1-cosθ)
Fy=-ρAu^2 sinθ
F=√(Fx^2+Fy^2)


おそらく使用すると思われる式

mを質量流量[kg/s]、Qを体積流量[m^3/s]とし、
Q=uA
m=ρQ=ρAu
と表します。

【質量流量保存則】
m=ρAu=(一定)

【ベルヌーイの式】
1/2ρu^2 + p =(一定)
(今回は高低差がないため ρgz の項は無視しました)

【単位時間あたりの運動量保存の法則】
Fx=m(u1 cosθ1 - u2 cosθ2)
+p1A1cosθ1 - p2A2cosθ2
Fy=m(u1 sinθ1 - u2 sinθ2)
+p1A1sinθ1 - p2A2sinθ2

色々自分で試してみたのですが、上手く合いません。
ただ、p1=p2=0、u1=u2=u とすれば解答と合うのですが、質量流量保存則より、
ρA1u1 = ρA2u2
u2=(A1/A2)u1
であるため、A1=A2でなければu1=u2 はあり得ません。それとも、A1=A2なのでしょうか?

どなたかわかる方いらっしゃいましたら教えていただけると幸いです。

「流体力学について質問です。 問. 断面積」の質問画像

A 回答 (2件)

この問題は、完全流体(ここでは、粘性ゼロの意味です。

)を前提としているようです。
曲面板の各所で働く力は、常に流線直角方向です。(そのために曲面で曲げている。折れ面で曲げると話が面倒になる。)
よって、流速を変える向きの力が働いていないため流速は変化せずに流向だけが変わります。流速が変化しないため、自動的にAも一定です。
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この回答へのお礼

お二方のうちどちらをベストアンサーに選ぶか迷ったのですが、A=(一定)がわかりやすかったのでmasa2211さんに決めさせていただきました。
kuroki55さんも材料力学で何度も答えていただき大変助かっています。
2人とも本当にありがとうございました!

お礼日時:2018/01/05 11:00

運動量の変化だけ考えて


F=√(Fx^2+Fy^2)
=ρAu^2√{(1-cosθ)^2+sin^2θ}
=ρAu^2√(1-2cosθ+cos^2θ+sin^2θ)
=ρAu^2√(2-2cosθ)
=ρAu^2√{4×(1-cosθ))/2}
=ρAu^2√{4sin^2(θ/2)}
=2ρAu^2 sin(θ/2)
で良いのでは。

ベルヌーイの定理から解くとした場合、
ノズルから出た瞬間大気圧になるので
p1=p2=0
は自明。
板に及ぼす力だけを考えるのだから
A1=A2
と考えて差し支え無いと思います。
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この回答へのお礼

お二方のうちどちらをベストアンサーに選ぶか迷ったのですが、A=(一定)がわかりやすかったのでmasa2211さんに決めさせていただきました。
kuroki55さんも材料力学で何度も答えていただき大変助かっています。
2人とも本当にありがとうございました!

お礼日時:2018/01/05 11:01

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Q流体が局面で受ける力の求め方

流体工学の勉強を始めたばかりの初心者です。いろいろ調べて解答にたどり着けなくて困ってます。
どなたかお力を貸してください。以下、問題です。

速度V=15m/sで運動している曲面に、直径d=10cm、速度q=28m/sの水噴流が衝突している。
曲面からの流出角度θ=15°のとき、曲面が受ける力のうちx方向のものを求めよ。ただし、sin15°=0.259、cos15°=0.966を用いよ。
[解答群]
➀2608N ②1670N ③983N ④45.1N ⑤2743N

以上です。

解説を交えて、どのように解答を導くのか教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

水の密度を1000[kg/m^3]とすると①でしょうか。

以下、流体の運動量の法則について、図面の右方向をx方向正として、
[2]で流速について符号を与え、[3]で力について再度符号を与える、
2段構成の我流の解説となっています(試験等では自己責任で)。
(定常流での流体力学の基礎知識は、備考(A)-(C)を参照)

[1]検査体積(備考(A)参照)への流入について、
流入相対速度はq-V、流入断面積をA=πd^2/4 とおく。
流入する流量(備考(B)参照)を、Q=(q-V)A とおく。
流体が右に流れており、相対速度の符号は正とする。
よって、流入口での流れの運動量(備考(C)参照)は、
  密度ρ×相対速度(q-V)×流量Q ・・・ (1)

[2]検査体積からの流出について、
連続の式(備考(B)参照)から、流出口での流量Qは流入口と等しく、
また流速、断面積も等しいと考えます。
流体が左上方に流出しており、x方向と逆なので、
相対速度(q-V)のx方向成分(q-V)cosθの符号は負とする。
よって、流出口での水平方向の運動量は、
  密度ρ×相対速度のx成分{-(q-V)cosθ}×流量Q ・・・ (2)

[3]運動方程式
(1)の運動量は流入で、検査体積を流れの方向に押す「力」となる(←我流)。
(右向きを正と考えているので、「右向きの力」の効果がある)
  +ρ×(q-V)×Q ・・・ (3)

(2)の運動量は流出で、検査体積を流れと反対方向に押す「力」
となる(←同じく我流)ので、(2)にマイナスをかけて、
  ーρ×{-(q-V)cosθ}×Q=+ρ×(q-V)cosθ×Q(>0)・・・ (4)
(結局、流入・流出ともに「右向きの力」)

また、流体と曲面との相互作用では、
「流体が曲面から受ける力」を式に組み入れてください。
これは今の場合「曲面が流体から受ける力Fx」の反作用なので、
  ーFx ・・・ (5)
と表します。

最後に、(3)(4)(5)を、検査体積の運動方程式(定常=加速度0)に入れます。
  ρ×(q-V)×Q+ρ×(q-V)cosθ×Q+(-Fx)=(検査体積質量)×(加速度0)

(備考)---------------------------------------------------------
(A) 検査体積
図中、点線で囲んである部分を「検査体積」といいます。
検査体積に対する流体の相対速度に注目してください。
  流体は不定形で、仮想の箱=「検査体積」の運動を考えます。
  (実際の箱と異なるのは、流体が出入りする効果で、後はニュートン力学)

(B) 連続の式
検査体積に流入する流量と、流出する流量は同じです。
ここで、流量=流体の相対速度×出入りする断面積
  連続の式とは、検査体積内の質量が変化しないならば、
  検査体積を出入りする流体の流量の総和がゼロという法則です。
  流量(正確には体積流量)は1秒間に出入りする体積を表します。

(C) 流れの「運動量の法則」
検査体積に流入する流体は、
 流れの運動量=密度×相対速度×流量
を持ち込み、これは検査体積に「力」が加わるのと同じ作用があります。
(流入するとき、検査体積は流れの方向に力を受けますが、
 流出するとき、流れと反対方向に力を受けます)
  相対速度はベクトル量なので、流れが斜めの場合、分解してください。
  流量はスカラー量で、分解してはいけません。

水の密度を1000[kg/m^3]とすると①でしょうか。

以下、流体の運動量の法則について、図面の右方向をx方向正として、
[2]で流速について符号を与え、[3]で力について再度符号を与える、
2段構成の我流の解説となっています(試験等では自己責任で)。
(定常流での流体力学の基礎知識は、備考(A)-(C)を参照)

[1]検査体積(備考(A)参照)への流入について、
流入相対速度はq-V、流入断面積をA=πd^2/4 とおく。
流入する流量(備考(B)参照)を、Q=(q-V)A とおく。
流体が右に流れており、相対速度の符号は正と...続きを読む

Q壁にぶつかる噴流による圧力について。

流速u(m/s)、断面積S(m2)で一様な噴流が壁にぶつかって放射状に散らばっているとき、壁に一秒間にぶつかる噴流の質量はρ•u•S(kg)で、ぶつかった後の運動量は合計ゼロと考えることができるので、一秒間に壁に与える力積は壁にぶつかる運動量と等しく、Ft = ρ•u•S•u = ρ•(u^2)•S (N•s)となり、壁はF = ρ•(u^2)•S (N)で押されていることになります。従って壁の直近の圧力はρ•(u^2)•S/S = ρ•(u^2) (Pa)になると思います。
一方、この噴流は単位体積あたりρ•(u^2)/2の運動エネルギー(動圧)を持っているので、流線上でロス無く流速をゼロにした場合はベルヌーイの定理によればρ•(u^2)/2の圧力(静圧)が生じる筈で、先の運動量から考えた計算の半分の圧力となります。ロスがある場合は圧力はさらに小さくなって、先の運動量から考えた計算との開きはさらに大きくなります。
ベルヌーイの定理の場合に何故ρ•(u^2)の半分になるのかという点について考えてみました。流速がuから0に瞬時に変化することは不可能だから、流速がuから0に変化する区間で圧力は0からρ•(u^2)まで変化する。だからこの区間の平均圧力を取ればρ•(u^2)/2になる。区間を極限まで狭くしたとしても平均がρ•(u^2)/2になることに変わりはないから圧力はρ•(u^2)/2になるのだろうと思います。
後者のベルヌーイの定理の動圧から考えた圧力と、前者の運動量から考えた圧力は、どう考えれば矛盾なく理解できるでしょうか。

流速u(m/s)、断面積S(m2)で一様な噴流が壁にぶつかって放射状に散らばっているとき、壁に一秒間にぶつかる噴流の質量はρ•u•S(kg)で、ぶつかった後の運動量は合計ゼロと考えることができるので、一秒間に壁に与える力積は壁にぶつかる運動量と等しく、Ft = ρ•u•S•u = ρ•(u^2)•S (N•s)となり、壁はF = ρ•(u^2)•S (N)で押されていることになります。従って壁の直近の圧力はρ•(u^2)•S/S = ρ•(u^2) (Pa)になると思います。
一方、この噴流は単位体積あたりρ•(u^2)/2の運動エネルギー(動圧)を持っているので、流線上でロ...続きを読む

Aベストアンサー

>いずれにしても壁にぶつかる前後で全圧は増大することになる
流線を曲げるために働く力をスラストといいます。
壁にぶつかる前もぶつかった後も、スラストは発生しません。ぶつかっている間だけ発生します。
ゆえに、ぶつかった時だけ、スラストの分の圧力が増えます。

通常、全圧にはスラストは加算しません。足すとするなら、運動量で計算した圧力のρ•(u^2)
※ρ•(u^2)/2ではない。
を丸ごと足してください。もともとの速度のρ•(u^2)/2は生きているから、結局、1.5ρ•(u^2)です。

Q流体力学の問題

次の問題がわかりません.わかる方がいらっしゃいましたら教えてください.お願いします.
 
幅h,速度Vの理想流体の2次元噴流が角度αで板に衝突した後,板に沿って流れている.板の表面は滑らかであり,摩擦損失や重力は無視できる.流体の密度ρは一定であるとして,以下の値を求めよ.(紙面に垂直方向には単位幅を考える)

0点から圧力中心(着力点)までの距離l.(圧力中心は,付加的な力のモーメントなく板を支えることができる点である.)

板に垂直に作用する力はρV^2sinαと求まりました.

Aベストアンサー

流線が真っ直ぐで圧力は外側の大気圧に等しいから速度は壁に当たる前と同じVと見なせる。
連続の方程式より
h = a+b・・・(1)
壁に垂直方向の運動量の法則より、噴流から受ける壁に垂直な力をFとして
F = ρhV^2・sinα
壁に水平な方向には力が働かないので
0 = -ρaV^2+ρbV^2-ρhV^2・cosα・・・(2)
(1),(2)からa,bを求めると、
∴a = (1/2)・h(1-cosα) , b = (1/2)・h(1+cosα)

噴流の中心線が壁と交わる点をOとすれば、Oから力Fまでの距離はLだから、Oの周りのモーメントは(a,bの流線の中心が各々a/2 , b/2なので・・・)
FL = ρbV^2・(b/2)-ρaV^2・(a/2) = (1/2)・ρV^2・(b^2-a^2)
∴L = (1/2)・ρV^2・(b^2-a^2)/F = (1/2)・(b^2-a^2)/hsinα = (h/2)・cotα
よってO点から圧力中心(着力点)までの距離lは
L = (h/2)・cotα

Qベルヌーイの定理とは?

初心者にも分かり易くベルヌーイの定理を教えてください。

Aベストアンサー

ベルヌイの式とは、皆さんが回答されているとおり、流体に関するエネルギー保存の式でいいと思うのですが、初心者に誤解を与えかねないような回答がありますのでコメントさせて下さい。

まずNo.4の方がおっしゃっているのは連続の式のことでベルヌイの式とは関係がありません。非圧縮性流体とは密度が一定の流体のことを意味し、流れが速かろうが遅かろうが分子間の距離は一定のままです。また分子間の距離は圧力とは関係がありません。関係するのは温度です。

翼の説明に関して、No.3の方が「翼の前面で分かれた空気は翼の後縁で一緒になります(これは厳密にいうと仮定でして、必ずしも一緒にならないこともあり得ます)。 」と書いておられますが、通常は上面の流れの方が後縁に先に達し、翼の後縁で一緒になることはありません。

Q断面積を2倍にすると流量は?

真空ポンプで空気を吸い上げている場合、圧力一定で空気吸い込み側の断面積を2倍にすると吸引量はどうなりますか?Q=AVだから断面積Aが2倍になるのだから流量は2倍になる。。と思いきや吸引の速度Vが半分になるから吸引量は変わらないといった意見もあり実際のところどうなのかどなたか教えてください。できれば数式で示していただけるとありがたいです。

また、真空ポンプの圧はMAX-0.1MPaですが、例えば2つの真空ポンプを並列にならべ、それぞれのポンプから断面積Aのノズルを出し、途中で一つに連結します(断面積A)。つまり、2本のノズルを途中で合体させて1本にするわけです。すると吸引量はポンプ1台の時に比べ倍になったりするのでしょうか?

Aベストアンサー

その通りです。そして、これが#1のお礼で質問された「長さ」ですよ。

#6でのURLためになりそうです。私もブックマーク付けました。
是非読んでみてください。読んでいただければ、途中から私の回答は必要なかった
かも。
難しいところもあるかもしれませんが、今回のやり取りで出てきたことも出て
きますので。わからないところは飛ばしてでも全部目を通してください。

以上

Q揚力の求め方

タイトルの通り、揚力の計算方法をお教え頂きたく。
一応、L=1/2ClρV^2S
  L:揚力(kgf) V:流体の速度(m/s)S:翼面積(m^2) ρ:流体の密度(kgf・s^2/m^4)

ここまでは判明したのですが、どうも「ρ」の単位の意味が解せません。
本来ならば揚力の計算方法を勉強するのが本筋なのでしょうが、なにぶん時間がありません。若干反則かとは思いますが、標準状態の空気の「ρ」の値もお教え頂けませんでしょうか?

御回答、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

<<(kgf・s^2/m^4)>>

わかりにくい表現ですね。

kgf は kgw  とも書きます。

つまり力の単位 kg・m/s^2

です。( f=m・a を思い出してください)

ですから、 

kgf・s^2/m^4
=(kg・m/s^2)・s^2/m^4
=kg/m^3

となって、おなじみの 密度の単位として納得できるのではないでしょうか。


<<標準状態の空気の「ρ」>>

は下のサイトで。有効数字の桁数がご不満でしたら、 キーワード 密度・空気 で検索してください。

   0.0012 g/cm^3
または 1.2kg/m^3

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%86%E5%BA%A6#.E3.81.84.E3.82.8D.E3.81.84.E3.82.8D.E3.81.AA.E7.89.A9.E3.81.AE.E5.AF.86

Qベンチュリ管の流量計算式の誘導について

以下の問題で計算式誘導を細かく説明してもらえると助かります。

 図の様に、内径d1の水平管中に、のど部d2のベンチュリ管が取り付けられて、内径d3の管に接続されている。流体密度ρ、重力加速度g、非圧縮性流体の条件下で、ベルヌーイの式と連続の式を立てよ。
 また、内径d1部とd2部の間で圧力差がΔpと与えられた場合、ベルヌーイの式と連続の式を用いて、管路を流れる流量Qを与える式を丁寧に誘導せよ。ただし、最終的な式にp1(d1部の圧力記号)、p2(d2部の圧力記号)、v1(d1部の速度記号)、v2(d1部の速度記号)を含んではならない。

       ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄\/ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
      ↑        ↑       ↑
Flow→ d1        d2       d3
      ↓        ↓       ↓
      _______/\_______

以上において、ベルヌーイの式と連続の式は立てられました。

v1^2/2g+p1/ρg=v2^2/2g+p2/ρg・・・ベルヌーイの式
Q=A1v1=A2v2・・・連続の式

しかし、流量を求める式の導出がいま一つ理解出来ないのです。
流量Qを求める式は
Q=(A1・A2/√A1^2-A2^2)√2gΔp
となる事は分かっているのですが、ここの形の式に成るまでの途中式が理解出来ないのです。

初歩的な数学の式の変形で出来ると思うのですが、式変形が苦手なのでふに落ちないのです。
出来ればで良いのですが、細かい説明を何とぞ宜しくお願いします。

以下の問題で計算式誘導を細かく説明してもらえると助かります。

 図の様に、内径d1の水平管中に、のど部d2のベンチュリ管が取り付けられて、内径d3の管に接続されている。流体密度ρ、重力加速度g、非圧縮性流体の条件下で、ベルヌーイの式と連続の式を立てよ。
 また、内径d1部とd2部の間で圧力差がΔpと与えられた場合、ベルヌーイの式と連続の式を用いて、管路を流れる流量Qを与える式を丁寧に誘導せよ。ただし、最終的な式にp1(d1部の圧力記号)、p2(d2部の圧力記号)、v1(d1部の速度記号)、v2(d1部...続きを読む

Aベストアンサー

gは重力加速度ですよね?
最後の導出された式↓
Q=(A1・A2/√A1^2-A2^2)√2gΔp
次元解析すると合わないですよね??
(上記式において、=の左右で単位が合わない)
次元を考えます。長さm 質量kg 時間sとすると、
●左辺
流量Qはm^3/sです。
●右辺
A1やA2はm^2 gはm/s^2 pはPa=kg/m・s^2 ですから、
(A1・A2/√A1^2-A2^2)の部分はm^4/m^2でm^2
√2gΔpは・・・
gΔpの部分がm/s^2×kg/m・s^2=kg/s^4
このkg/s^4の平方根・・・√kgが残ってしまう時点でおかしいと思うのですが。。。

まず、ベルヌイの式。両辺をgで割ります。
v1^2/2+p1/ρ=v2^2/2+p2/ρ
変形して、
v2^2/2-v1^2/2=p1/ρ-p2/ρ
両辺2倍して、まとめると、
v2^2-v1^2=(p1-p2)・(2/ρ)  ・・・(1)

連続の式から、
v1=Q/A1 v2=Q/A2
ですから、これを(1)式に代入してv1、v2を(1)式から消します。
(1)の左辺
v2^2-v1^2=(Q/A2)^2-(Q/A1)^2=(Q^2)・{(1/A2^2)-(1/A1^2)}
ここで、
{(1/A2^2)-(1/A1^2)}は通分して、(A1^2-A2^2)/A1^2・A2^2
よって(1)式は、
(Q^2)・{(A1^2-A2^2)/A1^2・A2^2}=(p1-p2)・(2/ρ)
p1-p2をΔpと置き換え、さらに両辺を{(A1^2-A2^2)/A1^2・A2^2}で割ると、
Q^2={A1^2・A2^2/(A1^2-A2^2)}・Δp・(2/ρ) ・・・(2)
よってQは(2)式の右辺の平方根になります。

これであれば、次元も合います。
●右辺
A1やA2はm^2 pはPa=kg/m・s^2 ρはkg/m^3 ですから、
(A1^2・A2^2/A1^2-A2^2)の部分はm^8/m^4でm^4
Δp・(2/ρ)の部分は、(kg/m・s^2)/(kg/m^3)=(m^2)/(s^2)
よって右辺は、
m^4・(m^2)/(s^2)=(m^6)/(s^2)
平方根を取ればちゃんと流量の次元m^3/sになります。

gは重力加速度ですよね?
最後の導出された式↓
Q=(A1・A2/√A1^2-A2^2)√2gΔp
次元解析すると合わないですよね??
(上記式において、=の左右で単位が合わない)
次元を考えます。長さm 質量kg 時間sとすると、
●左辺
流量Qはm^3/sです。
●右辺
A1やA2はm^2 gはm/s^2 pはPa=kg/m・s^2 ですから、
(A1・A2/√A1^2-A2^2)の部分はm^4/m^2でm^2
√2gΔpは・・・
gΔpの部分がm/s^2×kg/m・s^2=kg/s^4
このkg/s^4の平方根・・・√kgが残ってしまう時点でおかしいと思うのですが。。。

まず、ベルヌイの...続きを読む

Q流体力学

圧縮性流体が断面積変化のある流管を流れるとき
質量保存 運動量 連続の式より
du/u = {1/(M^2-1)}・dA/A
dρ/ρ = -{κM^2/(M^2-1)}・dA/A
dp/p = -{κM^2/(M^2-1)}・dA/A
dT/T = -{(κ-1)M^2/(M^2-1)}・dA/A
da/a = (1/2)・dT/T
u速度 Mマッハ数 A断面積 ρ密度 p圧力 κ比熱比 T温度 a音速
となり、
M=1が特異点となって、速度 密度 圧力 温度 音速 の変化が
超音速と亜音速で逆になると思うのですが
なぜ超音速と亜音速で変化の仕方が変わるのでしょうか?
推測でもかまわないので、お願いします。

Aベストアンサー

実験レベルだと音速衝撃波の問題だと思います
空気振動の伝播速度=音速
衝撃波=振動の局部集中
なので音速が特異点になります

私は飛行機から流体力学を勉強したのでモデルの説明はちょっと違いますが

スピーカから同心円に音を出している状態のものの風洞実験で
徐々に風速を上げて言った場合
音速付近で物体を発生源にする衝撃波が発生します
これは、本来前方に伝播する音波の伝播速度(音速)と伝播する物体の速度が同じになるためにスピーカ付近にとどまります
よって衝撃波が無限大になります

音速を超えて仮にマッハ2ぐらいになると
音は前方には届かず、衝撃波はスピーカ後方に広がります
よって衝撃波は拡散します

実用的な部分では、ジャンボジェットの最高速度はマッハ0.85、コンコルドの最高速度はマッハ2ですが、なぜマッハ1前後の飛行機がないかという理由になります

空気の管路流れの場合は、空気の単位量あたりの運動方程式になるとは思いますが、説明の自身はありません

Q流体力学、2次元流れ、速度ポテンシャル、流線の問題

速度ポテンシャル

φ=A・x/r^2 ; r^2=x^2+y^2 (A:定数)

 をもつ2次元流れがあるときの流線を示せ。という問題なんですが、

  u=-A(x^2-y^2)/r^4 , v=-A・2xy/r^4  までは出せました。

ここからあとの解き方が、調べてもわかりません。

ちなみに解は x^2+(y-a)^2=a^2 になるみたいです。

dx/u=dy/v をどう使うのでしょうか?

お願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。lycaonです。
まず回答を。

Φ= A・x/r^2、 r^2 = x^2 + y^2 ...(1)
u = -∂Φ/∂x ...(2)
= -A/r^2 - Ax(∂r/∂x)・∂/∂r(1/r^2)
 = -A/r^2 + 2A・x^2/r^4 = A・(x^2-y^2)/r^4
v = -∂Φ/∂y ...(3)
= -Ax・(∂r/∂y)・∂/∂r(1/r^2) = 2A・xy/r^4

dx/u = dy/v ...(4)

u,vを代入し整理、2xy・dx=(x^2-y^2)・dy
y = px と置くと dy = pdx + xdp
2xy・dx=2p・x^2・dx
(x^2-y^2)・dy=(1-p^2)x^2・(pdx + xdp)
代入整理 {(1-p^2)/p/(1+p^2)}・dp = dx/x ...(5) ←変数分離形

(1-p^2)/p/(1+p^2)= D/p + (Ep+F)/(1+p^2) と置き右辺を通分
分子=D(1+p^2) + p(Ep+F) = (D+E)p^2 + Fp + D
D+E=-1、F=0、D=1→E=-2
結局(5)→ {1/p - 2p/(1+p^2)}・dp = dx/x ...(5')

∫(1/p)dp=ln(p) + C1, 
-∫2p/(1+p^2)dp =-ln(1+p^2)+C2 ←∫f'(x)/f(x)dx=ln(f(x))の形。
∫(1/x)dx=ln(x) + C3

(5')に代入し整理 ln{p/(1+p^2)}dp=ln(Cx)、C1~C3をCにまとめた。
p/(1+p^2)=Cx → y=px で戻し (x^2+y^2) = y/C、
1/(2C)=a と置き、x^2 + (y-a)^2 = a^2...(6)

回答終わり。

こんにちは。lycaonです。
まず回答を。

Φ= A・x/r^2、 r^2 = x^2 + y^2 ...(1)
u = -∂Φ/∂x ...(2)
= -A/r^2 - Ax(∂r/∂x)・∂/∂r(1/r^2)
 = -A/r^2 + 2A・x^2/r^4 = A・(x^2-y^2)/r^4
v = -∂Φ/∂y ...(3)
= -Ax・(∂r/∂y)・∂/∂r(1/r^2) = 2A・xy/r^4

dx/u = dy/v ...(4)

u,vを代入し整理、2xy・dx=(x^2-y^2)・dy
y = px と置くと dy = pdx + xdp
2xy・dx=2p・x^2・dx
(x^2-y^2)・dy=(1-p^2)x^2・(pdx + xdp)
代入整理 {(1-p^2)/p/(1+p^2)}・dp = dx/x ...(5) ←変数分離形...続きを読む

Q流体力学の問題です

下記の問題の[1][2]は分かるのですが、[3]が理解できません。
[3]について式を立てるところから教えて頂けないでしょうか?

揚水ポンプを考える。吸込管の内径は80mm、揚水管の内径は65mmであり、このポンプを用いて毎分体積流量V'が1.2m^3/minの水を、高さ10mの位置に揚水している。この揚水量におけるポンプの全揚程Htは15mであり、ポンプ効率ηは0.7である。
水の密度ρは1000kg/m^3、重力加速度gは9.8m/s^2、円周率πは3.14とする。

1)ポンプの所要動力L'はL'=[1](W)で表される。
2)揚水管(内径65mm)における水流の単位質量辺りの運動エネルギーは、吸込管(内径80mm)における運動エネルギーより[2](J/kg)大きい。
3)力学エネルギー保存の式より、10m揚水した後の管内水圧は、吸込管における水圧より[3](Pa)高くなる。

[1]はρ・g・Ht・V'/(60η)です。
[2]は10.259(J/kg)です。
[3]は3.9*10^4Paです。

Aベストアンサー

全揚程エネルギー=圧力差+実揚程エネルギー+運動エネルギー差

∴圧力差=全揚程エネルギー-実揚程エネルギー-運動エネルギー差 
 
 圧力差=1000*9.8*15-1000*908*10-1000*10
    =3.9*10^4(pa)


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