確率について

以下の二つの確率は等しいでしょうか。

・袋の中に無数のボールがあり、赤いボールの割合 ( = 赤いボールの総数/ボールの総数) が p であるとき、無作為にボールを n 個取り出した内の赤いボールが 0 個である確率
・袋の中に無数のボールがあり、無作為にボールを n 個取り出した内の赤いボールが 0 個であるとき、赤いボールの割合が pである確率

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2018/01/06 14:59

企業でＳＱＣを推進する立場の者です。

結論から先に書きます。両者は異なります。#3さんがおっしゃっているように、そもそも、Pとπ（事後確率）の違いがあります。

袋の中の赤いボールの割合を母確率pと言い、古典論では所与であり固定値です。ですから後者の問題は古典論では解けずベイズの問題になります。ベイズでは、母確率pが分布を持ちますので、p＝0のときの確率が求まります。

もう少し詳しく説明すると、

①は、「n個のサンプルを観測する」という試行を何度も行ったとすると、赤いボールが観測される数(0個～n個)は確率質量(連続分布の確率密度に相当)を持つので、そのうち0個のケースの出現確率Pは?という問題です。P＝の式になります。

②は、１回の試行中に赤が0個しか観測されなったとして赤の母確率pを逆推定するとき、母確率pが0～1の範囲で分布を持つと仮定して、それが0のときの確率を求めよという問題です。π＝の式になります。

では、式を比較してみましょう。

①は、#3さんが書かれているように二項分布で表され、
P(p|x)＝nCx・p^x・(1－p)^(n－x)
となります。これにx＝0を代入すれば、所望の値が求まります。

②は、ベイズ逆推定になります。尤度関数が二項分布の時は事前分布としてベータ分布を使いますので、それをΒ(α,β)とします。すると、途中の式は省略しますが、
π(p|x)∝1／Β(α,β)・p^(α－1)・(1ーp)^(β－1)・nCx・p^x・(1－p)^(n－x)
となります（全体の面積で割らないといけませんが省略しています）。これにx＝0，p＝0を代入すれば、所望の値が求まります。ただ、α,βの値によってその確率値は変化します。

詳しくは、ベイズの解説書をご精読下さい。ベイズは簡単には理解できませんが、ご所望の値はベイズでないと求まらないのです。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/01/05 19:06

2つは意味が全く違います。

上は、袋の中の「赤いボールの割合」が分かっている条件で、それが標本にどう表れるか、という話です。
下は、標本の中の「赤いボールの割合」が確定した条件で、袋の中を推定する話です。

統計学的に言えば、上は「母集団の特性が分かっているときの標本の確率分布」の問題。標本の「赤の個数」の出現確率は二項分布に従い、「赤いボールが 0 個の確率」は定まった値となります。

下は、ある標本のデータから、未知の母集団の特性を「推定」するものです。
一般には「標本の赤いボール個数は正規分布するはず」と仮定して「赤いボールの割合」の範囲（信頼区間）を推定します。標本を構成するデータ数（標本サイズ）や、標本の数（サンプルをいくつ採取するか）などによって推定値は変わります。
「無作為にボールを n 個取り出した内の赤いボールが 0 個であるとき」という標本の条件であれば、中央が「赤いボール＝０個」という分布に従った推定になります。

No.2 回答者： さすらいの桃太郎 回答日時： 2018/01/05 18:48

上段は確率として計算できますが、下段は試行結果から推定する作業にしかならず、確率としては出せないと思います。

例えば、p=1/2、n=1 とした場合、上段の確率が1/2なのは分かりますが、下段は確率を出しようがないと思いますし、少なくとも1/2にはならないでしょう。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/01/05 18:10

たぶん違うんじゃないかなぁ.