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図のように一端が回転支持され、他端に質量mを有する棒のA店がバネ定数kのバネで支えられた時の棒の回転運動の方程式を導き方と、これの固有振動数の求め方を教えてください!

「図のように一端が回転支持され、他端に質量」の質問画像

A 回答 (3件)

この問題の場合、棒のOのまわりの微小回転の振動数を求めることなのでは?


ならば
この棒とMの系を剛体とみなして固定点Oのまわりの運動方程式をたてるとき
慣性モーメントは棒の質量を無視するとしてmR²となります。
つぎに棒の鉛直下向きに対する回転角をθとすればMに作用する重力mgのOのまわりのモーメントは
-MgRsinθですがθが小さければsinθ≒θと近似できるのでこのモーメントは、-mgRθになります。
A点の変位はθが小さい場合水平方向にrθと近似できるのでバネの力の大きさはは水平方向に
krθとなりバネの力のOのまわりのモーメントは、-kr²θになります。
したがって方程式は
mR²(d²θ/dt²)=-(mgR+kr²)θ となり
これは振動数f=ω/2π、ω²=(mgR+kr²)/(mR²) の単振動です。
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No.1です。

もう少し厳密に書くと

 I * d²θ/dt² = - kr*sinθ - MgR*cosθ

かな。
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点Oを中心に回転する場合の、棒とおもりの慣性モーメントを I 、棒の中立位置からの角度を θ (上側を正)として、運動方程式は



 I * d²θ/dt² = - krθ - MgR

です。

ここから先は、簡単には解けないかな。詳しい方にお任せします。
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L(ラグランジアン)=(m/2)l^2(dθ/dt)^2-mglsinθ-(1/2)k×(lθ/2)^2より
ml^2d^2θ/dt^2=-mgl-kl^2θ/4
となって単振動の式ではなくなってしまうのですが、どこがまちがっているのかご指導お願いします。
(sinθ=θとする。)

Aベストアンサー

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つりあい位置で,ばねの縮みをx0とすると
kx0・l/2 = mg・l  ∴ x0 = 2mg/k

L = 1/2 ml^2θ'^2 - mglθ - 1/2 k(x0 - lθ/2)^2
= 1/2 ml^2θ'^2 - mglθ -1/2 kx0^2 + 1/2 kx0lθ - 1/8 kl^2θ^2
= 1/2 ml^2θ'^2 -1/2 kx0^2 - 1/8 kl^2θ^2

第2項は定数なので捨ててよく,

L = 1/2 ml^2θ'^2 - 1/8 kl^2θ^2

あとは,できますね?

なお,蛇足ですが,仮にあなたが与えた結果が正しい場合でも,単振動の微分方程式であることには変わりありません。

θ'' = -ω^2 θ + C

の形の場合,

d^2/dt^2 (θ - θ0) = -ω^2(θ - θ0)

と書き換えることができますね?

Q振動力学の問題が分からないので教えてください

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Aベストアンサー

こんばんは。
この問題について、ちょこっと考えてみました。

左側のバネの伸び x1
右側のバネの伸び x2
質量mが先についている棒と水平方向のなす角度をθとする

微小変位なので、
 sinθ = tanθ = (x1-x2)/l
という関係があります。

すると、
 質量mの変位y = バネBの伸び + 2l{(x1-x2)/l} = x2 + 2(x1-x2) = 2x1-x2
 速度v = dy/dt = 2・x1' - x2'
 運動エネルギー T = (1/2)・mv^2 = (1/2)・m・(2・x1' - x2')^2
 = (m/2)・(4・(x1')^2 -4・x1・x2 + (x1')^2)

一方、バネのポテンシャル・エネルギーUは
 U = (1/2)・k(x1)^2 +(1/2)・k(x2)^2

よって、ラグランジアンLは
 L = T- U = ……
ラグランジアンが求まったのだから、これをラグランジュの方程式に入れて、
一生懸命、計算をすれば、
運動方程式が出てくる。

やると、
 ───暗算による、極めていい加減な推測です。間違っている可能性は大アリ!!
ですから、真面目に計算してください───
 2・m・(2x1''-x2'') = -kx1
 m・(x2''-2x1'') = -kx2

で、
 x1 = Asinωt + Bsinωt
 x2 = Csinωt + Dcosωt
として、求めた運動方程式に代入して、A、B、C、Dの関係と、ωを求める。
面倒なので、やる気はまったくありません。

ラグランジアンLを実際に計算し、
運動方程式を求め、
微分方程式を解いてください。

こんばんは。
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左側のバネの伸び x1
右側のバネの伸び x2
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微小変位なので、
 sinθ = tanθ = (x1-x2)/l
という関係があります。

すると、
 質量mの変位y = バネBの伸び + 2l{(x1-x2)/l} = x2 + 2(x1-x2) = 2x1-x2
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Aベストアンサー

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ただ、別に、θ:一般化変位、I:一般化質量、…
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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

> x=μg/ω^2 になり,回転半径は角速度の2乗に反比例する。
> つまり回転が速いほど,遠心力の小さな内側でないと
> 物体を固定しておけないと考えましたが,この考え方は正しいですか。
これで正しいですよ.

回転平板と物体の間の最大静止摩擦力は
平板や物体を違うものに変えなければ不変なので
仰るとおりの結果になります.


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