一様分布の最大値の最尤推定量について

最尤法を勉強しています。一様分布の右端の最尤推定量が、得られたデータの最大値になることがわかりません。直観的にはわかるのですが。。。
確率変数(X1,...,Xn)が一様分布 f(x,t) = 1/t (0<x<=t;0:known,t:unknown)に従うとして、n個の尤度函数はL(t;x)=(1/t)^nになると思うのですが、
この尤度函数を最大化するようなtというのはt=min(Xi)=0？ではないかと考えてしまいます。何が間違っているのでしょうか。
急ぎませんのでよろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2018/01/24 01:38

企業でSQCを推進する立場の者です。

既に#1さんが、ズバっと核心を突く回答をしていらっしゃいますが、私は企業人と言うことで易しく説明したいと思います。

(1)一様分布は、次のような確率密度をもちます。つまり確率密度グラフの全体の面積１を底辺の幅で割ったものです。

（確率密度）＝１／（x上限ーx下限）

(2)ｎ個のサンプルの尤度関数は、確率密度が一定だから、xiによらず次の式になります。

（尤度関数）＝１／（x上限ーx下限）^n

(3)この尤度関数を最大にするには、分母の（x上限－x下限）すなわち底辺の幅を『現在の観測サンプルを含んで』最も小さくすれば良いから、

（x上限）＝max（観測サンプル）
（x下限）＝min（観測サンプル）

というように、現在のサンプルの上下限値が、一様分布の範囲の最尤推定量になります。

> 何が間違っているか

考えるべき一様分布は、当然『現在の観測サンプルを含んで』いる必要がありますが、それを無視しています。#1さんのご指摘もこれです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。補足も含めて、理解しました。現在の観測サンプルを含んで最も小さくするということを忘れていました。ありがとうございます。

お礼日時：2018/01/25 09:39

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2018/01/25 06:48

#2です。

書き足りませんでした。
なぜ、『現在の観測サンプルを含んで』いることが必要か。
それは、一様分布は上下限値の外側では確率が0ですから、現在の観測サンプルが外に出てしまうと、サンプルの尤度が0になってしまいます。だから『現在の観測サンプルを含んで』いる必要があるのです。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2018/01/23 12:42

尤度函数を最大化するに当たって、max(Xi)≦t という条件が付いているということをお忘れなのでしょう。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。つまり最大化すべきtはmax(X_i)<=tを満たしているからこれより大きなtで一番小さなtを拾うとmax(Xi)になるということでしょうか。

お礼日時：2018/01/25 09:38