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数学ではよく、両辺を2乗しますが、それができるのは2乗した式と2乗する前の式が同値のときだけですか?

例えば、A=B
2乗すると、A^2=B^2
これができるのはA^2=B^2⇔A=B(A=-Bという可能性がない)ときだけですか?

質問者からの補足コメント

  • さすらいの桃太郎さん
    回答ありがとうございます!

    片方だけ成り立つまま、論を進めていっていいのですか?A^2=B^2にA=Bだけでなく、A=-Bも含まれている場合、そのまま進めていっても支障はないのでしょうか?

      補足日時:2018/01/25 20:48
  • さすらいの桃太郎さん

    わかりにくくてすいません!
    「A=Bだけでなく、A=-Bも含まれる場合」というのは
    「A=Bでしか成り立たない(A=-Bでは成り立たない)場合」ということです!
    A=Bでしか成り立たないのに、A^2=B^2をしてもよいのでしょうか?2乗したことによってA^2=B^2にA=-Bも含まれてしまう気がするのですが、、、

      補足日時:2018/01/25 21:27

A 回答 (6件)

再び失礼します。

結論的には、2乗してもかまわないと思います。話を次のように整理しましょう。
・ 「A=Bならばp」が成り立つ
・ 「A=-Bならばp」は成り立たない
という事象pがあるということですね。それはそれとして、
・ 「A=BならばA^2=B^2」が成り立つというのは明らかだと思います。

以上の理解がどこか違っているのでしたら、ご指摘下さい。
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No3 です。


補足説明を読むと、あなたと回答者との間に理解の食い違いが有る様に感じます。
最初の質問にある「数学ではよく、両辺を2乗しますが」って、具体例を示して貰えますか。

例として、「√3 と√5 の大小関係を調べる」と云う場合は、
夫々を二乗して 3<5 だから、√3<√5 であると云えますね。
この場合は、(ー√3) や(ー√5) が入り込む余地はありませんよね。
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A=B


両辺にAを掛ける
A×A=A×B
A²=AB  …(1)

A=B
両辺にBを掛ける
A×B=B×B
AB=B²  …(2)

(1)、(2)より
A²=AB=B²
ゆえに
A²=B²


一方で、A²=B² を満たすAは
A=±B となるので、
A=Bだけとは限らない。


----------
上を見てもらえばわかる通り、
両辺を2乗しても等式は成り立ったままですが、
平方根を取るときは正負があるので
同値とはなりません。

等式が成り立つときは、
両辺に同じ数値を掛けても成り立つことから
2乗しても同じと言えるだけなのです。
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「A=B → A²=B² 」でも、「A²=B² → A=B 」ではありません。


必要条件・十分条件は習いましたよね。
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#1です。


大事なことは、最初の条件が何か、それを基に言えることは何か、をしっかり押さえることです。その前提で先に進むのは問題ありません。

>A^2=B^2にA=Bだけでなく、A=-Bも含まれている場合、そのまま進めていっても支>障はないのでしょうか?
 ここは若干混乱があるかもしれません。「A=Bだけでなく、A=-Bも含まれている場合」というのは、最初の条件が「A=BまたはーB」ということでしょうか。これは当初の質問とは前提条件が違っていますね?それならそれで、それを基に進めればよろしいかと存じます。
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2乗は常にできます。

逆が必ずしも真ではない、ということです。すなわち、
A=B ⇒ A^2=B^2
片方向だけが成り立つと思います。
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