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重積分の問題で∫ ∫(e^(-y^2))*x*y dxdy D={(x,y)|x^2+y^2<=a^2, x,y>=0} の解き方と答えを教えてください。

gooドクター

A 回答 (4件)

ANo.1&2・・!


導出の過程
⇒積分領域Dを図示するなどして積分範囲を定める・・!
⇒積分計算を実行する・・!

∫[0→a]dx∫[0→√(a²-x²)]{xye^(-y²)}dy

なる積分を計算するがよい・・!

実際に手を動かし、計算を試みて確かめるは質問者側の仕事である・・!
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重積分の問題で∫∫(e^(-y^2))*x*y dxdy D={(x,y)|x^2+y^2<=a^2, x,y>=0} の解き方と答え


極座標を使う変数変換を使う:x=r cosθ,y=r sinθ__式(1)
重積分の変換に必要なヤコビアンJの計算には∂x/∂r, ∂y/∂r, ∂x/∂θ, ∂y/∂θの4個を計算します。
偏微分とは、rで微分する時は、θは定数だと思って微分し、θで微分する時は、rは定数だと思って微分します。すると
∂x/∂r=cosθ, ∂y/∂r=sinθ, ∂x/∂θ=-r sinθ, ∂y/∂θ=r cosθ
これからJは
J=|∂x/∂r__∂y/∂r|=|_cosθ___sinθ|_下線は行列要素間のスペース確保のためです。
__|∂x/∂θ_ ∂y/∂θ|_|-r sinθ_r cosθ|__式(2)
 = r((cosθ)^2+(sinθ)^2) =r__式(3)
Jの計算式(2)の中には∂x,∂y,∂r,∂θの記号が2回ずつ出てきます。3重積分では、3回ずつ出ます。書く手間を節約するために1回ずつにした記号が式(4)です。式(4)はJの計算には使えないが、式(5)の形で役に立ちます。(式(4)と式(5)は3行に書いてあるが、真ん中の―――は分数の線です。)
J= (∂x,∂y)   __ 式(4)
__----
  (∂r,∂θ)
dxdy= (∂x,∂y) d r dθ=Jd r dθ__式(5)
___----
___(∂r,∂θ)
I=∬Φ(x、y)dxdyをx=f(r, θ) y=g(r, θ)で変換する時、dxdyを式(5)を使って置き換えて
I=∬Φ(x、y)dxdy=∬Φ(x、y) J dr dθ
とすることができます。式(5)ではdrと∂rが文字が似ているので同一と見て約分できるように考えると、置換積分の公式と似ていて、覚えやすい利点があります。
これを使うと、J=rだから
I=∫∫(e^(-y^2))*x*y dxdy=∫∫(e^(-y^2))*x*y r dr dθ
式(1)の変換を行うと
I=∫∫(e^(-(r sinθ)^2))sinθcosθr^3 dr dθ__式(6)
積分範囲はr=0からaまでとθ=0からπ/2までで、(r=0→a)と(θ=0→π/2)の記号を使う。
rの積分を行うためr ^2=uの置換積分を行うと2rdr=du,rdr=du/2
I=∫∫(e^(-u (sinθ)^2))sinθcosθ(1/2)u du dθ
=∫{∫(e^(-u (sinθ)^2)) sinθcosθdθ}(1/2) u du__式(7)
{ }内のθの積分=∫(e^(-u (sinθ)^2))sinθcosθdθ
θの積分を行うため(sinθ)^2=vの置換積分を行うと2sinθcosθdθ=dvで
sinθcosθdθ=dv/2。vの積分範囲は(v =0→1)。
{ }内のθの積分=∫(v =0→1)e^(-u v)dv/2=[-e^(-u v)/2u] (v =0→1)
=(-e^(-u)+1)/2u__式(8)
式(8)を式(7)の中に入れると
I=∫{(-e^(-u)+1)/2u }(1/2) u du
=∫{(-e^(-u)+1)}(1/4) du=[(e^(-u)+u)/4 ] (u =0→a^2)
= (e^(-a^2)+ a^2-1)/4__式(9)
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ANo.1・・!


計算ミスってた・・ゴメン!<(_ _)>
∬{(e^(-y²))*x*y}dxdy  D={(x,y)|x²+y²≦a², x,y≧0}
=e⁻⁽ª^²⁾-1+(1/4)a²
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
導出の過程も教えていただけるとありがたいです。

お礼日時:2018/01/29 11:32

∫ ∫{(e^(-y²))*x*y}dxdy  D={(x,y)|x²+y²≦a^2, x,y≧0}


=e⁻⁽ª^²⁾-1

計算ミスなければ・・!
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