f(x)＝6x^2/(x^2＋4)とする。a＞0とし、曲線ｙ＝f(x)上の点(a.f(a))における

f(x)＝6x^2/(x^2＋4)とする。a＞0とし、曲線ｙ＝f(x)上の点(a.f(a))における接戦Ｌが原点を通るとする。

(1)aの値と接線Ｌの方程式を求めよ。

(2)曲線ｙ＝f(x)の変曲点のx座標を求めよ。

(3)曲線ｙ＝f(x)およびＬで囲まれた図形の面積を求めよ。

これらの問題が分かりません。
解説して頂けると有難いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/01/29 20:56

f(x)＝6x^2/(x^2＋4)=6－24/(x^2＋4)＿＿＿式(1)

１、初めにf(x)を微分して曲線の勾配を出します。
f ' (x) =48x/(x^2＋4)^2＿＿＿式(2)
f(x)＝6x^2/(x^2＋4)=6－24/(x^2＋4)としてf ' (x) =48x/(x^2＋4)^2とした方がよかった。
2, 点(a.f(a))における接線Ｌの方程式は
ｙ－f(a)＝f ' (a)(x－a) ＿＿＿f(a)とf ' (a)に式(1)と式(2)を使うと
ｙ－6a^2/( a^2＋4)＝(48 a /( a ^2＋4)^2)(x－a)＿＿＿式(3)
接線Ｌが原点を通る条件は、x=y=0を式(3)nに入れると
－6a^2/( a^2＋4)＝(48 a /( a ^2＋4)^2)(－a) ＿＿＿共通因数－6a^2/( a^2＋4)で両辺を割ると
1＝(8 /( a ^2＋4), a ^2＋4=8，a＞0だからa=2
3，式(2)をさらに微分すると
f ' ' (x) =48/(x^2＋4)^2－48x(4x)/(x^2＋4)^3
=48(x^2＋4)－48x(4x)/(x^2＋4)^3
=48(4－3x^2)/(x^2＋4)^3
f ' ' (x)=0となるのはx=±√(4/3) =±2/√3＿＿＿変曲点のx座標
4，a=2の時、接線Lの方程式(3)にa=2を入れると
ｙ=(3/2)(x－2)+3=(3/2)x＿＿接線L＿＿式(4)
5，曲線ｙ＝f(x)およびＬで囲まれた図形の面積
積分の下限0と上限2を(0→2)の記号で表すと
面積=∫(0→2)((3/2)x－f(x))dx=∫(0→2)((3/2)x－6+24/(x^2＋4))dx
=∫(0→2)((3/2)x－6) dx +∫(0→2)24/(x^2＋4))dx
第1項= [(3/4)x^2－6x] (0→2)＝－9
第2項=∫(0→2)24/(x^2＋4))dx＿＿x=2tan tの置換積分を行う。
dx=2sec^2(t)dtを使って置換すると
第2項=∫(0→π/4)24/(4sec^2(t))) 2sec^2(t)dt
=∫(0→π/4)12dt=3π
面積=3π－9