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exp(ikx)/(x^2+a^2)の-∞から∞までの実定数積分のやり方を教えてください!

A 回答 (4件)

a, k がともに実数という, かなり身勝手な解釈をしたとしても,


a < 0, a = 0, a > 0
k < 0, k = 0, k > 0
いろいろな可能性がある.
a と k について, もっと詳しく条件を与えてくれないと, 回答は不可能.
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a,kは実数ですか?


その場合、kが正か負かで答えが違ってきます。

k>0の時は次のような経路で∫_c exp(ikz)/(z^2+a^2) dzを計算しましょう。
C1 z:-R→R 実数軸上
C2 z:R→-R 0を中心に半径Rの半円(arg(z):0→π)
この積分の値は留数定理で簡単に求められます。あとはR→∞とするとC2での経路での積分の値が"0"になることからC1の積分の極限値が計算できます。

k<0とするとC2での積分が収束することすら証明することは困難です。(実際は収束します)もちろん値を出すことは非常に難しい。(もちろん実際には値を出すこと自体は可能)

どうすればよいのかは自分で考えましょう。(ヒント:k>0の時C2での積分が収束する理由を考えましょう)
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私の知識不足でしょうか...


実定数積分とは, どのような積分ですか.
また, a と k に関して説明が一切ありませんが, それでも答えが求められるのでしょうか.
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留数定理を適用して


∫(-∞→∞){exp(ikx)/(x²+a²)}dx=π・exp(-ka)/a

計算ミスってなければ・・!
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