数学の証明で最後に 合同な図形の対応する辺は等しいから〜 ってかくんですけど、そこが「角｣のときがあ

数学の証明で最後に
合同な図形の対応する辺は等しいから〜
ってかくんですけど、そこが「角｣のときがあるんですがそのときとの違いはなんですか?

No.1 ベストアンサー 回答者： むらさめ 回答日時： 2018/02/12 20:06

三角形の合同条件は

3つ辺がそれぞれ等しい。
2つ辺とその間の角がそれぞれ等しい。
1つ辺とそれを挟む2つの角がそれぞれ等しい。

違いは合同を証明するための条件が3つあって、どれを利用して合同を証明するかになります。
問題によって証明の条件が限られてしまうので、3つを使い分ける事ができないといけないです。

また相似の条件と似ている(幾何学的に仕方がない)ので、混同しないようにしないといけないです。

実際に問題を自分の頭を使って解いてみるのが習熟の一番の方法だと思います。

No.2 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/02/13 17:27

三角形ABCにおいて

辺の長さを BC=a, AC=b, AB=c とおくと
高校数学で習う正弦定理と余弦定理で
合同の3つの条件が同値であることがわかります。

<正弦定理>
a/sinA =b/sinB =c/sinC =2R
<余弦定理>
a²=b²+c²-2bc・cosA
b²=a²+c²-2ac・cosB
c²=a²+b²-2ab・cosC

3辺がわかっている場合や、2辺とその間の角がわかっている場合は、
余弦定理を用いれば、残りの辺とcosが計算できます。
当然ながらcosに対応する角度がわかるので
与えられた条件から三角形のすべての辺の長さと角度がわかるわけです。

また、2角とその間の辺がわかっている場合、
三角形の内角の和が180°であることから、残りの角がわかるので
正弦定理より2Rが計算できます。
すると、さらに正弦定理より残りの2辺の長さが計算できます。
したがって、
この条件からも三角形のすべての辺の長さと角度がわかるわけです。

すなわち、
合同条件の３つのうちどれを用いても
三角形のすべての辺の長さと角度が決定してしまうのです。


本来ならばすべてが一致していることが合同であることなのですが、
三角形において、合同条件のうちのどれかがわかっていれば
すべての辺の長さと角度が決まってしまうので、
簡略化のために対応する辺や角度の合同条件の比較だけで
2つの三角形が合同だと証明しているのです。
（合同条件を使いたくなければ、
三角形の6つの要素が一致することをわざわざ示さないといけないことになる）

要するに、
答案用紙にはどの合同条件を用いたかをはっきり書く必要があるので、
辺だったり角だったりするわけですね。


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三角形において、6つの要素
∠A,∠B,∠C,a,b,c
のうち3つ（ただし辺が1つ以上）がわかっていれば、
正弦定理と余弦定理から残りが計算できます。
つまり、三角形の形が決定されてしまいます。

＃辺の長さが一つもわからない（角度のみわかっている）場合は
＃大きさが決められないため、
＃合同条件ではなく相似条件となります。

中学生にとってはまだ習うところではないので、
合同条件をしっかり覚えるだけでよいと思いますよ。