Xの方程式(m^2-1)x^2+2(m-1)x+2=0の解の種類を判別せよ。という問題の解き方がわか

Xの方程式(m^2-1)x^2+2(m-1)x+2=0の解の種類を判別せよ。という問題の解き方がわかりません。解説をみてもわからないです。わかりやすく教えていただけると嬉しいです！お願いします。

No.4 回答者： springside 回答日時： 2018/02/18 17:07

(i) m=1のとき、与式は、2=0となり、解なし

(ii) m=-1のとき、与式は、-4x+2=0となり、解は、x=1/2
(iii) m≠±1のとき、判別式をDとすると、
D/4 = (m-1)²-(m²-1)･2
=-(m-1)(m+3)であるから、
-3<m<1(ただしm≠-1)のとき、D>0となり、2つの実数解
m<-3、1<mのとき、D<0となり、2つの虚数解
m=-3のとき、実数の重解

以上をまとめると、

m<-3のとき、2つの虚数解
m=-3のとき、実数の重解(1つ)
-3<m<-1のとき、2つの実数解
m=-1のとき、1つの実数解
-1<m<1のとき、2つの実数解
m=1のとき、解なし
1<mのとき、2つの虚数解

となる。

注：m=±1のときには与式は2次方程式にならないことに気付く必要あり。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/13 13:37

No2の言う通り！

漫然と問題を解く時に陥りやすい回答ですね！
この関数を、2次式と思い込まないように注意してください！場合分けが必要！m=±1
あとは、自分で考えてね！

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/02/13 12:47

そして単純に「2次方程式だひゃっほ～い判別式祭りだぜぃ」とかやると間違えるわけですね.

m=1 のときに「実数で重解を持つ」かっていうと... ねぇ.

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/02/13 09:57

判別式D=b²-4acを使って

D<0：実数解なし
D=0：実数で重解を持つ
D>0：実数で異なる解を持つ
ってやる。

実際にDを計算すると、
D={2(m-1)}²-4(m²-1)2=4m²-8m+4-8m²+8
=-4m²-8m+12
=-4(m²+2m-3)
=-4(m+3)(m-1)

m<-3,1<mの時、D<0なので、実数解なし
m=-3,1の時、D=0なので、実数で重解を持つ
-3<m<1の時、D>0なので、実数で異なる解を持つ