二つ聞きたいです。よろしくおねがいします。
(1)lim(x)^1/x=0であるのに、なんでlim(n)^1/n=1なんですか?
ともにx→正の無限大に発散しnも同様とする。
(2)logx≦x-1はx>0のみでしか成立しない理由はなんでですか?確かにx≦0部分はlogが存在しないけど、不等式の評価はできないんですか?
ついでに(3)もお願いします。できれば教えてもらいたいです。
(3)x^1/xの増減とlog1/xの増減が一致するのは微分すればわかりますが解ではlogが増加関数であることより一致するとなっていたのです。なぜ増加関数ならそうなるんですか?

A 回答 (5件)

siegmund です.



ちょっとミスタイプしちゃいました.
どうも最近ミスタイプが多くていかんな~.

> ついでに
> log{x^(1/x)} = (1/x)log x → ∞  (x→+0)
> lim_{x→+0} x^(1/x) = 0
のところは
  log{x^(1/x)} = (1/x)log x → - ∞  (x→+0)
  lim_{x→+0} x^(1/x) = 0
と訂正してください(1行目の右辺の∞の前の負号が抜けました).

taropoo さん,適切な補足をありがとうございました.
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siegmundさんのおっしゃる通りで


    lim_{x→∞} x^(1/x) = 0 (xは実数)
    lim_{n→∞} n^(1/n) = 0 (nは整数)

    lim_{x→∞} x^(1/x) = 1 (xは実数)
    lim_{n→∞} n^(1/n) = 1 (nは整数)
の間違いです。お詫びして訂正いたします。

蛇足かもしれませんが、(3)についてのsiegmundさんのコメントにmonmonmonさんのために補足をすると、
    f(y) = log y
    g(x) = x^(1/x)
のことを言っています。つまり
    f(g(x)) = log {x^(1/x)}
ということです。こうすると、f'(y) = 1/y > 0 (つまり単調増加)ですから
> df(g(x))/dx = f'(g(x)) g'(x)
より、d f(g(x)) / dx と g'(x)の符合が一致し、f(g(x))とg(x)の増減が一致すると言う事です。

また何かミスってなければ良いけど。
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表記については taropoo さんの言われるとおりですね.



(1) あれ?
lim_{x→∞} x^(1/x) = 1
ですよ.
対数をとると,
log{x^(1/x)} = (1/x)log x → 0  (x→∞)
ですから.
必要ならロピタルの定理を使えばOK.
x の代わりが n でも同じことです.

ついでに
log{x^(1/x)} = (1/x)log x → ∞  (x→+0)
lim_{x→+0} x^(1/x) = 0
です.

taropoo さんもちょっと誤解があるようです.

(2) hitomi_sa さんの言われるとおり,定義されていない(値がない)ものについて
大小比較は全く意味がありません.

(3) 要するに,f(g(x))の形になっているわけで
df(g(x))/dx = f'(g(x)) g'(x)
ですから,f'(g(x)) > 0 なら,df(g(x))/dx と g'(x) の増減が一致すると
言っているのです.
今は,f が対数関数ですから,g(x)>0 である限り f'(g(x))>0 です
(つまり,対数関数が増加関数).
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まず表記に問題ありです。


> lim(x)^1/x
と書いてしまうと通常べき乗は四則演算より優先されるので、xの1乗をxで割ったもの(つまり1)と誤解されてしまいます。
limの書き方も含め教えて!gooでは
    lim_{x→∞} x^(1/x)
などと書く事が多いです。

次に(1)ですが、
    lim_{x→∞} x^(1/x) = 0 (xは実数)
が正解でしたがって当然
    lim_{n→∞} n^(1/n) = 0 (nは整数)
となります。
    lim_{n→∞} n^(1/n) = 1
は何かの間違いでしょう。

それから(3)。x^(1/x)とlog(1/x)の増減は一致しません。
    {x^(1/x)}' = (1-log x)x^(1/x - 2)
なので0<x<e(eは自然対数)で単調増加、(e<x)で単調減少です。
log(1/x)が(0<x)で単調減少なのはわかりますよね?log xが単調増加、1/xが単調減少だからです。

この回答への補足

表記の書き方までありがとうございます。それと早い回答もありがとうございます。補足してください。問題を書き間違えました。
x^(1/x)とlog{x^(1/X)}の増減の一致でした。
お願いします。

補足日時:2001/07/11 23:07
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こんばんは。



(2)だけね。
x≦0においては、log x (対数の底はe)を定義しない
ことになっているので、値が存在せず、値が存在しないと
いううことは、当然不等式がうんぬんという話も出てきません。
値が2つ存在して、はじめて大きいとか小さいとか比較が
できるからね。
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