二つ聞きたいです。よろしくおねがいします。
(1)lim(x)^1/x=0であるのに、なんでlim(n)^1/n=1なんですか?
ともにx→正の無限大に発散しnも同様とする。
(2)logx≦x-1はx>0のみでしか成立しない理由はなんでですか?確かにx≦0部分はlogが存在しないけど、不等式の評価はできないんですか?
ついでに(3)もお願いします。できれば教えてもらいたいです。
(3)x^1/xの増減とlog1/xの増減が一致するのは微分すればわかりますが解ではlogが増加関数であることより一致するとなっていたのです。なぜ増加関数ならそうなるんですか?

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (5件)

siegmund です.



ちょっとミスタイプしちゃいました.
どうも最近ミスタイプが多くていかんな~.

> ついでに
> log{x^(1/x)} = (1/x)log x → ∞  (x→+0)
> lim_{x→+0} x^(1/x) = 0
のところは
  log{x^(1/x)} = (1/x)log x → - ∞  (x→+0)
  lim_{x→+0} x^(1/x) = 0
と訂正してください(1行目の右辺の∞の前の負号が抜けました).

taropoo さん,適切な補足をありがとうございました.
    • good
    • 0

siegmundさんのおっしゃる通りで


    lim_{x→∞} x^(1/x) = 0 (xは実数)
    lim_{n→∞} n^(1/n) = 0 (nは整数)

    lim_{x→∞} x^(1/x) = 1 (xは実数)
    lim_{n→∞} n^(1/n) = 1 (nは整数)
の間違いです。お詫びして訂正いたします。

蛇足かもしれませんが、(3)についてのsiegmundさんのコメントにmonmonmonさんのために補足をすると、
    f(y) = log y
    g(x) = x^(1/x)
のことを言っています。つまり
    f(g(x)) = log {x^(1/x)}
ということです。こうすると、f'(y) = 1/y > 0 (つまり単調増加)ですから
> df(g(x))/dx = f'(g(x)) g'(x)
より、d f(g(x)) / dx と g'(x)の符合が一致し、f(g(x))とg(x)の増減が一致すると言う事です。

また何かミスってなければ良いけど。
    • good
    • 0

表記については taropoo さんの言われるとおりですね.



(1) あれ?
lim_{x→∞} x^(1/x) = 1
ですよ.
対数をとると,
log{x^(1/x)} = (1/x)log x → 0  (x→∞)
ですから.
必要ならロピタルの定理を使えばOK.
x の代わりが n でも同じことです.

ついでに
log{x^(1/x)} = (1/x)log x → ∞  (x→+0)
lim_{x→+0} x^(1/x) = 0
です.

taropoo さんもちょっと誤解があるようです.

(2) hitomi_sa さんの言われるとおり,定義されていない(値がない)ものについて
大小比較は全く意味がありません.

(3) 要するに,f(g(x))の形になっているわけで
df(g(x))/dx = f'(g(x)) g'(x)
ですから,f'(g(x)) > 0 なら,df(g(x))/dx と g'(x) の増減が一致すると
言っているのです.
今は,f が対数関数ですから,g(x)>0 である限り f'(g(x))>0 です
(つまり,対数関数が増加関数).
    • good
    • 0

まず表記に問題ありです。


> lim(x)^1/x
と書いてしまうと通常べき乗は四則演算より優先されるので、xの1乗をxで割ったもの(つまり1)と誤解されてしまいます。
limの書き方も含め教えて!gooでは
    lim_{x→∞} x^(1/x)
などと書く事が多いです。

次に(1)ですが、
    lim_{x→∞} x^(1/x) = 0 (xは実数)
が正解でしたがって当然
    lim_{n→∞} n^(1/n) = 0 (nは整数)
となります。
    lim_{n→∞} n^(1/n) = 1
は何かの間違いでしょう。

それから(3)。x^(1/x)とlog(1/x)の増減は一致しません。
    {x^(1/x)}' = (1-log x)x^(1/x - 2)
なので0<x<e(eは自然対数)で単調増加、(e<x)で単調減少です。
log(1/x)が(0<x)で単調減少なのはわかりますよね?log xが単調増加、1/xが単調減少だからです。

この回答への補足

表記の書き方までありがとうございます。それと早い回答もありがとうございます。補足してください。問題を書き間違えました。
x^(1/x)とlog{x^(1/X)}の増減の一致でした。
お願いします。

補足日時:2001/07/11 23:07
    • good
    • 0

こんばんは。



(2)だけね。
x≦0においては、log x (対数の底はe)を定義しない
ことになっているので、値が存在せず、値が存在しないと
いううことは、当然不等式がうんぬんという話も出てきません。
値が2つ存在して、はじめて大きいとか小さいとか比較が
できるからね。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))とlim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の求め方は?

(1)lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
(2)lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)

の極限値がわかりません。
(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
=
lim[n→∞][1/{(2/3)^n+n^2/3^n}]
までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
どうなるのでしょうか?

あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。

Aベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

 a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n < 1, 1/n^2 < 1 なので、(3)は、

 a(n+1)/a(n) < 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) > 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
 a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
 a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
 lim_{n→∞} a(n) = 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n>10で、
 a(n+1)/a(n) < [1 + 2/10 + 1/100]/3 < 2/3
故に、n→∞ のとき、
 0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
      < (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
 lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)


[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

 lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
 = lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
 [1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
 (5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
 1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、...続きを読む

Q∬sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1

∬_S sin(x+y)dxdyの解を求めよ。
ただしS:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。

と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。
以下をご覧ください。
--------------------------------------------------------------
この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の中の2.の(5)の答えは"2"になっております。
------------------------------------------------
さて、ちょっとややこしいのですが、上記二者は全く同じ問題ではないので、こことは別なあるご相談サイトで前者の問題
∬_S sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1・・・・・について質問したところ、次のような回答がありました。

その回答の抜粋;”私も積分値が何なのかは知りませんが、積分領域の S の面積がπ/4 で、sin(x+y)≦1 なので積分値はπ/4 以下になります。”
あとで気づいたのですが、この記述は、
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の答えと矛盾するような気がしますが、どうでしょうか?
当方独学の部分が多いため、わからなくなって困っております。宜しくお願い致します。

∬_S sin(x+y)dxdyの解を求めよ。
ただしS:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。

と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。
以下をご覧ください。
--------------------------------------------------------------
この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の中の2.の(5)の答えは"2"になっております。
------------------------------------------------
さて、ちょっとややこしいのです...続きを読む

Aベストアンサー

∫[S] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dxdy
=∫[0,1]{sin(x)∫[0,√(1-x^2)]cos(y)dy+cos(x)∫[0,√(1-x^2)]sin(y)dy}dx
=∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx
=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
=sin(1)-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx …(◆)
≒0.8414709848-0.2793082485
≒0.5621627363
(◆)の第二項の定積分は解析的に行えませんので数値計算(ガウス数値積分法その他→参考URL参照)で計算します。

積分そのものは以下のサイトで数値積分してくれます。
ttp://www10.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28integrate%28sin%28x%2By%29%2Cy%2C0%2Csqrt%281-x%5E2%29%29%2Cx%2C0%2C1%29
integrate(integrate(sin(x+y),y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)

参考URL:http://homepage3.nifty.com/gakuyu/suti/sekibun/gauss-int.html

∫[S] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dxdy
=∫[0,1]{sin(x)∫[0,√(1-x^2)]cos(y)dy+cos(x)∫[0,√(1-x^2)]sin(y)dy}dx
=∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx
=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
=sin(1)-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx …(◆)
≒0.8414709848-0.2793082485
≒0.5621627363
(◆)の第二項の定積分は解析的に行えませんので数値計算(ガウス数値積分法その他→参考URL参照)で計算します。

積分そのものは以下のサイトで数値積分してくれます。
ttp://www10.wolframalpha.com/input/?i...続きを読む

Q3次関数y=x^3-2ax^2+a^2x (a>0)の0≦x≦1におけ

3次関数y=x^3-2ax^2+a^2x (a>0)の0≦x≦1における最大値を求めたい。
まず、yはx=(ア)のときに極大値(イ)をとり、x=(ウ)のとき極小値(エ)をとり、さらに(ア)以外にy=(イ)となるようなxの値はx=(オ)である。
そこで、求める最大値をaの関数と考えてM(a)で表すと次のようになる。
a≧(カ)のとき M(a)=(キ)
(カ)>a≧(ク)のとき M(a)=(ケ)
(ク)>a>0のとき M(a)=(コ)

という問題なんですが、(ア)~(オ)までは分かったんですが、
場合わけする部分がどうすれば解答にたどり着くか分かりません。
分かる方解説よろしくお願いします。

解答
(ア)a/3(イ)(4a^3)/27(ウ)a(エ)0(オ)4a/3
(カ)3(キ)a^2-2a+1(ク)3/4(ケ)(4a^3)/27(コ)a^2-2a+1

Aベストアンサー

dy/dx=3x^2-4ax+a^2
     =(3x-a)(x-a)
     =0
とおくとx=a/3、a
ですから、極大値はx=a/3のとき、極小値はx=aのときですね。ここで、この関数のグラフを書いてみましょう。原点を通り、x>0の領域で極大および極小値を持ちます。
 問題になるのは0<=x<=1の領域ですから、x=1の直線がこのグラフとどういう位置関係にあるかで最大値が変わってきますよね?
 例えばa/3>=1であればx=1の時が最大値、a/3<1<=aであればx=a/3のときが最大値というように。
 グラフ中のいろいろな位置にy軸と平行な直線を書きこんで、どこが最大値になるか考えてみて下さい。

Qe^x-(x^0/0!+…+x^n/n!)>0

f[n](x)=e^x-(x^0/0!+x^1/1!+…+x^n/n!)>0を示せ
n=0のとき成立
n=kのとき成立すると仮定すると
n=k+1のときf[k+1](x)=f[k](x)-x^(k+1)/(k+1)!となってこれが正を示すときに別の質問で(f[k+1](x))'を使って増減表を書くと聞いたのですが(f[k+1](x))'=e^x-(x^0/0!+x^1/1!+…+x^k/k!)が0になる場所はわかるのでしょうか?

Aベストアンサー

A#2の補足について
A#2を良く読めば分かると思いますが?

分からないから補足で質問されてると思うので
より詳しく解説させていただきます。

>>f[k](x) > 0 なのでf[k+1](x) > f[k+1](0)となる理由
と結局f[k+1]'(x) = f[k](x)…(※)を何に使ったのか良ければ教えてください

n=kの時 x>0でf[k](x) > 0…(A) が成立すると仮定したはずですね。

f[k+1]'(x) = f[k](x) …(B)

この(B)はf [k+1](x)をxで微分した式が「= f[k](x)」
となることを示した式ですね。
(B)式が成立するところまでは分かりますね。
仮定(A)により(B)の右辺のf[k](x)は正ゆえ(B)の左辺も

f[k+1]'(x) > 0 (x > 0 ) …(C)

となりますね。

(C)は x > 0 でf[k+1](x)が増加関数であることを表します。

ここで(※)の式は f[k+1](x) が増加関数であることを示す為に使っていますね。

x=0における増加関数f[k+1](x)の値
f[k+1](0)=e^0 - 1 = 0 …(D)
なので x > 0 では増加関数f[k+1](x)に対して
f[k+1](x) > f[k+1](0) = 0 (x>0)
成立します。

(注)増加関数f(x)とは任意のxa,xbに対して
xa<xbのとき f(xa)<f(xb)
を満たす関数です。
性質として xa<xc<xbを満たすx=xcで
 f(xc)=0 なら
 「x<xcに対してf(x)<0」かつ [xc<xに対してf(x)>0」
が成立します。

お分かりになりましたか?

A#2の補足について
A#2を良く読めば分かると思いますが?

分からないから補足で質問されてると思うので
より詳しく解説させていただきます。

>>f[k](x) > 0 なのでf[k+1](x) > f[k+1](0)となる理由
と結局f[k+1]'(x) = f[k](x)…(※)を何に使ったのか良ければ教えてください

n=kの時 x>0でf[k](x) > 0…(A) が成立すると仮定したはずですね。

f[k+1]'(x) = f[k](x) …(B)

この(B)はf [k+1](x)をxで微分した式が「= f[k](x)」
となることを示した式ですね。
(B)式が成立するところまでは分かりますね。
仮定(A)...続きを読む

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)


人気Q&Aランキング

おすすめ情報