数3です。 例えば f(x)＝x^2-4x+4/x-2 この式の定義されないxの値を求めよ。という問

数3です。

例えば
f(x)＝x^2-4x+4/x-2 この式の定義されないxの値を求めよ。という問題だった場合、この式を整理するとf(x)＝x-2になるのにどうして、x＝2で定義されないということになるんですか？

また関数f(x)がx＝aで連続であるが調べよという問題で、極限にもっていくとき、左側極限や右側極限を使う時と普通にそのまま持っていく時の違いは何ですか？？

質問者からの補足コメント

• 皆さん本当にありがとうございました！
  お陰でテスト乗り切れました！！

    補足日時：2018/02/16 18:29

No.7 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/16 05:14

No.6の補足：

>f(x)＝x^2-4x+4/x-2＿＿式(1)＿ 。あなたの式は括弧が不足しているので、
f(x)＝(x^2-4x+4)/(x-2)のことだと分からなかった。括弧を付けない場合は、前から
計算して行くのがルールだから
f(x)＝((x^2-4x)+4/x)-2という意味になる。
＞左側極限や右側極限を使う時：
関数の連続とは、要するに、グラフが連続につながっていることですが、それを数学的に確かめるために左側極限や右側極限を使います。f(x)がｘ＝aで連続とは、次の３条件が
必要で、その時はグラフがｘ＝aで切れていない、すなわち、連続であるということがわかっています。
1、f(a)が計算できること。(数学の用語では「f(a)が存在する」といいます。)
2、左側極限と右側極限とが計算できること。(「左側極限と右側極限とが存在する」といいます。)
3、f(a)と左側極限と右側極限とがすべて一致すること。
式(1)で、そのまま、ｘ＝２を代入すると、分母と分子が両方０になり、０/０は、No.6で述べた禁止の取り決めに違反するので、f(2)が計算できないことになってしまう。
これは取り決めだけの問題だから、f(x)＝(x^2-4x+4)/(x-2)＝x-2とすれば実用上は困ることはないが、規則を守るために、x＝２は不連続というきまりになっている。これは除去可能な特異点という名付けられている。例えばｙ＝sinｘ/ｘも、ｘ＝０は除去可能な特異点だが、分母のｘを無くする便利な記号はない。(無限級数という厄介な方法はある。)
例えば、g(ｘ)＝ｙ＝|ｘ|/ｘという関数は、g(０)が存在しないことと、左側極限と右側極限が一致しないので、不連続で、グラフが切れています。左側極限と右側極限は、このように連続性を議論する目的で計算します。目的もなく、ただ練習問題としてやるから、無用な疑問が生じます。

No.6 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/16 03:45

数学では、皆が数学を便利に使えるように、いろいろな取り決めをします。

その一つが「０で割る割り算は考えない、使ってはいけない」という取り決めです。
０で割る割り算の使用を許すと、非常に不便なことが起きます。
例で示します。
方程式４ｘ＝４を解くとｘ＝４/４＝１になります。ここで４を０に置き換えて
方程式０ｘ＝０を解くとｘ＝０/０＝１＿＿式(1)＿＿となる計算を使ってもいいことにします。
次に方程式４ｙ＝４＋４を解くとｙ＝(４＋４)/４＝２です。同じように４を０に置き換えて
ｙ＝(０＋０)/０＝２＿＿式(2)＿＿とします。式(2)の分子の括弧内を計算すると,
０＋０＝０だから
ｙ＝(０＋０)/０＝０/０＝ｘ＿＿式(3) ＿＿となります。これからy＝ｘ＝１＝2となってしまいます。今まで使っていた０＋０＝０が使えなくなります。
その他、いくらでも矛盾が起きて、正しい計算ができなくなります。
一番よい解決策は、０/０を使ってはいけないという取り決めです。
もう一つの問題は１/0＝∞というルールが使えないかということです。複素関数論では、これを使うこともあります。どういう取り決めにするかの問題です。高校の数学の範囲では、１/0＝∞は使わないことになっています。もしこれを許すとたし算、引き算で問題が起きます。次の計算を許すとします。
１/0+1/0＝∞+∞＝∞
無限大と無限大をたすと無限大になります。両辺から∞を一個ずつ引くと、
∞＝０
となります。これは望ましくない結果です。このような結果を防ぐには、∞は普通の数の仲間には入れないという取り決めがよい解決策です。
複素関数論で、１/0＝∞を使用する時は、代わりに∞－∞＝０という計算などを許さないという取り決めが必要です。
人類は(数学者は)、皆が便利に数学を使えるように工夫を重ねて、取り決め(定義、公理、など)を作って来ました。

No.5 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/02/14 22:29

数学の世界では 0 で割ることはできません。

しかし、ほんの微細でも 0 でなければ割ることができます。

lim [x→a]

は

x=a

と同義ではないのです。
また、関数が不連続の場合、その不連続点では左から近づく時と右から近づく時とでは値が違いますから区別する必要があるのです。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/14 20:22

みなさんの言われるように、分母=0は定義されません！それは、

例えば、y=1/x ならば xy=1 ですが、x=0なら、どんなyの値でも、0=1 はあり得ず、
成立しないことからも、分母は、0ではありません！

f(x)は、x^2 と2次の項があり、打ち消し合うことはないので、f(x)=x-2 にはなりません！

左側極限 と 右側極限が必要な時は、
例えば、漸近線のある曲線 y=tanθ や双曲線 や郵便料金表の時のガウス記号の値などが
考えられますね！

No.3 回答者： 酢酸納豆 回答日時： 2018/02/14 19:29

分母が0にならないことだ。

間違えました。ごめんなさい。

No.2 回答者： 酢酸納豆 回答日時： 2018/02/14 19:28

分母が0になることを先に

x-2≠0とするからじゃないですか？

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/02/14 19:26

数学では分数の分母=0は許されない、から。

分母=x-2。x=2だと分母=0になる。だからx=2は許されない。

分数は掛け算の逆演算。

2×3=6　→　3＝6/2

ｎ×0=0　nは何で有っても成立する。
なら逆演算でn=0/0で、nは何でも良いから0/0は何でも良い事になる。

では2/0は何になる？
ｎ×0=2となる様なnは存在しない。だから2/0なんて存在しない。

つまり、分母=0は許されない。