3次方程式の定数の範囲の問題です。 問題文が3次方程式X^3+(K−1)X^2−(K−4)X−4＝0

3次方程式の定数の範囲の問題です。
問題文が3次方程式X^3+(K−1)X^2−(K−4)X−4＝0が次の解をもつように次の定数Kの値のの範囲を求めよ。
(1)虚数解
(2)異なる3つの実数解
(3)重解
わかる方教えてください。お願いします

No.1 回答者： springside 回答日時： 2018/02/18 17:55

計算が面倒なのでやりませんが、以下の考え方でどうぞ。

f(x)=x³+(k-1)x²-(k-4)x-4とおく。
y=f(x)のグラフの姿を考えて下さい。

(1)
y=f(x)のグラフがx軸と1点でのみ交わる。ただし、その交点のx座標はf(x)=0の3重解ではない。

つまり、「極値を持たない（f'(x)=0が実数解を持たない、又は、f'(x)=0が重解(αとする)を持つがf(α)≠0）」又は「極値を持つが極大値が負」又は「極値を持つが極小値が正」

極値を持たない⇔「f'(x)=0が実数解を持たない、又は、f'(x)=0が重解(αとする)を持つがf(α)≠0」⇔「f'(x)=0の判別式<0」又は「f'(x)=0の判別式=0で、f'(x)=0の重解をαとするとf(α)≠0」
極値を持つが極大値が負⇔f'(x)=0の2実数解をα、β（ただし、α<β）とおくと、f(α)<0
極値を持つが極小値が正⇔f'(x)=0の2実数解をα、β（ただし、α<β）とおくと、f(β)>0

(2)
y=f(x)のグラフが、x軸と3点で交わる。つまり、極値を持ち、極大値>0、かつ、極小値<0

つまり、f'(x)=0の2実数解をα、β（ただし、α<β）とおくと、f(α)>0、かつ、f(β)<0

(3)
y=f(x)のグラフが、「x軸と1点で交わり、別の1点で接する」又は「1点でのみ交わり、その交点のx座標はf(x)=0の3重解」
つまり、「極値を持ち、極大値=0、又は、極小値=0」又は「f'(x)=0が重解(αとする)を持ち、f(α)=0」

つまり、f'(x)=0の2実数解をα、β（ただし、α<β）とおくと、f(α)=0、又は、f(β)=0
又は、f'(x)=0の重解をαとするとf(α)=0