写真の一段目から二段目への途中計算が分かりません。 教えていただきませんか？ 使用する公式など

写真の一段目から二段目への途中計算が分かりません。

教えていただきませんか？

使用する公式など

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/02/18 01:47

no2につけたしです

{(1+r^2)^(1/2)}(1+r^2)'のように
（~）と（~）’のカッコの中が同じ関数ならば、
{(~)^●}(~)'は　(~)^(●+1)を微分したものとなっている可能性が高いです。
その理由は{(1+r^2)^(3/2)}に類似した形の微分に慣れれば、わかると思います。（今日のところは割愛します。）
このことから、画像1行目は(1+r^2)^(1/2＋１)＝{(1+r^2)^(3/2)}を微分したものではないかと、推測できます。
係数を調整して、(2/3){(1+r^2)^(3/2)}’={(1+r^2)^(1/2)}(1+r^2)'を確認できれば、
この式を積分して　(2/3){(1+r^2)^(3/2)}=∫{(1+r^2)^(1/2)}(1+r^2)'dr　（積分定数は省略）
だから画像の式となります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/02/18 00:03

{(1+r^2)^(1/2)}(1+r^2)'が

2/3{(1+r^2)^(3/2)}を微分した形になっていると気づければ
1行目の積分はこの微分の逆方向だから、２行目になることはすぐにわかります。

（ちなみに、2/3{(1+r^2)^(3/2)}の微分についての詳しいことは、合成関数の導関数を参照してみてください。）

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/02/17 23:59

元の式を見ないと何とも言えませんが、元の式が

　∫[0→2π]∫[0→1](1 + r^2)^(1/2) rdr dθ

なのではありませんか？

これで
　1 + r^2 = t
とおくと
　dt/dr = (1 + r^2)' = 2r
なので
　dt = (1 + r^2)' dr = 2rdr
これを
　rdr = (1/2)dt = (1/2)(1 + r^2)' dr
と書いているのだと思います。

つまり、r についての積分の部分だけを取り出せば、r:0→1 のとき t:1→2 なので
　∫[0→1](1 + r^2)^(1/2) rdr
= (1/2)∫[1→2]t^(1/2) dt　　←これを (1/2)∫[0→1](1 + r^2)^(1/2) (1 + r^2)'dr と書いている
= (1/2)[ (2/3) t^(3/2) ][1→2]　　←これを (1/2)[ (2/3)(1 + r^2)^(3/2) ][0→1] と書いている
= (1/2)(2/3) [ 2^(3/2) - 1^(3/2) ]　　←どちらで計算しても、最終的にこうなる