古くはオイラーの「一筆書き」や「多面体」の研究に端を発し、19世紀に至り
ポアンカレなどの研究によって新しい幾何学として確立された「位相幾何学」とは、
それまでの幾何学と根本的にはどこが異なるか教えてください!
お願いします!!

A 回答 (3件)

私もけっこう好きですが、


「立方体」も「球」も「細長い針金」も、結局は同じ。「ドーナッツ」も「コーヒーカップ」も同じ、穴の一つあいた立体。

ユークリッド幾何学で重要とされた、形や長さや角度、といったものをはずして、つながりかた(やっぱりいい表現でない)だけを見る、というのが根本的な違いですね。
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オイラーのケーニヒスベルクの7つの橋については、


以下のURLにもありました。
こっちの方が詳しい。

参考URL:http://www1.sphere.ne.jp/mote/suugaku/ke.htm
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位相幾何学の歴史については、以下のURLにありました。



位相幾何学が従来の幾何学とは何が違うか。
私見ですが、一言で言えば、従来の幾何学は線の長さ、複数の線が交わった時の
角度、曲線ならその曲がり具合(曲率)などの量的な(いい言葉が見つからない
が)性質を研究の対象としていたのに対し、位相幾何学は上述の性質には言及
せず、線のつながり具合などの質的な(これも適切でない言葉かもしれません)
性質を研究の対象とします。

以下のサイトでも、位相幾何学について書かれていました。
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/gaibu.html

参考URL:http://robin2.ise.chuo-u.ac.jp/TISE/kyouyou/1mat …
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Q(再掲)朝鮮半島の歴史上の人物

現在、韓国の歴史人物について調べているのですが、詳細な資料が見つかりません。
皆さんの知ってる韓国の歴史人物の知識を教えて下さい。
織田信長・徳川家康・源頼朝など、歴史を次の時代に進めた歴史上の人物をお願いします。

私の知っている朝鮮半島の歴史上の人物は安重根・李舜臣ですが、

安重根は、ケネディ大統領を暗殺した犯人・ファイサル国王を暗殺したオマル師・朴正煕大統領を暗殺した金載圭、
などのテロリストの領域を出ない人物だと思います。

李舜臣は日本史上の人物で例えると、九鬼義隆や源義経など現場指揮官クラスの人物です。
源頼朝や織田信長など明確なビジョンを持って歴史を動かした人物ではないと思います。


1)朝鮮半島の歴史上の人物で織田信長・徳川家康・源頼朝など、歴史を次の時代に進めた歴史上の人物。
2)その人物が成し遂げたこと。
3)その人物が出現した後、どう変わったか。
をご教授下さい。

ご協力おねがいします。

Aベストアンサー

朝鮮の歴史を簡単に述べると、古代において君主制の中央集権の統一国家が
出現し、それが近代に至るまでずっと続いたということです。
日本やヨーロッパのように、封建制が間に入らないので、織田信長級の変革者
となると、数は限定されます。


今までに名の挙がってない人物で重要なのは、新羅の金春秋かと思います。
最近、少しずつ韓国の歴史を調べているのですが、今に至る韓国の歴史の
流れを決めたという点で、金春秋の存在は非常に大きいと思います。

こういうと語弊があるかもしれませんが、事大主義の先覚者ですね。
彼が活躍しなければ、新羅が勝者となることはなかったかと思います。
高句麗などは隋や唐の遠征軍を何度も退けて、自主独立の気概を示していた
のですが唐と同盟を結んだ新羅が韓半島を統一することで、その後の韓半島
の歴史が決まりました。

他にも、中国文化を積極的に導入し、名前までも中国風に改めたことなどは
やはり金春秋の影響が大きいと思います。


もう一人名前を挙げるとすれば、他の方の回答にあるように朴正煕大統領
ですね。朝鮮半島が最終的に赤化されなかったため(近い将来、あるかも
しれませんが。;^^)、日本にかかる共産圏の軍事的圧力が減り、日本は
その分経済発展することができました。

開発独裁の担い手として批判も多い朴正煕大統領ですが、客観的にみて日本の
恩人とも言えるかと思います。

朝鮮の歴史を簡単に述べると、古代において君主制の中央集権の統一国家が
出現し、それが近代に至るまでずっと続いたということです。
日本やヨーロッパのように、封建制が間に入らないので、織田信長級の変革者
となると、数は限定されます。


今までに名の挙がってない人物で重要なのは、新羅の金春秋かと思います。
最近、少しずつ韓国の歴史を調べているのですが、今に至る韓国の歴史の
流れを決めたという点で、金春秋の存在は非常に大きいと思います。

こういうと語弊があるかもしれませんが、...続きを読む

Qユークリッド幾何学(初等幾何学)

初等幾何学では2点間の長さとはどのように定義していますか?参考URLなどでも教えてください.
単に距離関数として定義しても一意でないので不十分だし座標は使わないのが趣旨だと思います.

私は初等幾何学を次の方針で組み立てるのがいいと考えました.

1. 点・直線は無定義語
2. 長さは次のようなやり方で定義する
 1. 線分の平行移動・回転移動を無定義概念
 2. 線分の2等分を定義
3. 極限操作にの導入(n→∞ の導入)
4. 2点の間に基準となる直線が何個入るか
この過程を経て距離や長さを定義したいと思いますが
もっといい理解の仕方があれば教えてください.

Aベストアンサー

原論で長さをどのように定義しているか知りませんが、おっしゃるとおりのやり方で長さを定義できます。
ただし、実数論つまりコーシー列の収束を使います。
簡単にいいますと直線l上に基準となる線分OPをとる。
直線lには向き、つまり順序が定義できる。
点Pを1に対応させる。
すると整数に対応する点をl上に取れる。
2^m等分が可能なのでM/2^mに対応する点をとれる。
こうしてとった2点X=M/2^m,Y=N/2^nの長さはM/2^m-N/2^nとする。
l上の任意の点Aにたいして、X_n<A<Y_nとなるような点X_n,Y_nをすでに2^m当分点から取れる。
任意の実数eに対し、X_nY_n<eとでき、(アルキメデスの公理)実数論を使いX_n,Y_nはともに同一の極限値xに収束することが示せる。 OA=xとおきながさOAが定まる。
こうしてl上に距離が定義でき、線分の合同公理を用いて、平面上の距離に拡張できる。 

大体上のような感じです。
ユークリッドの時代に実数論がないのですが、有理数の極限としての実数を厳密でなく使っていたと思います。
なお平行、合同というのは無定義概念ですが、移動(平行移動、回転移動)という概念はユークリッド幾何では用いていないと思います。(合同公理は長さを定義するのに必要ですが、)こういったものを定義するには座標が必要になると思います。

上で簡単に言ったことは砂田利一'幾何入門’に詳しく書いてありますので参考にしてください。

原論で長さをどのように定義しているか知りませんが、おっしゃるとおりのやり方で長さを定義できます。
ただし、実数論つまりコーシー列の収束を使います。
簡単にいいますと直線l上に基準となる線分OPをとる。
直線lには向き、つまり順序が定義できる。
点Pを1に対応させる。
すると整数に対応する点をl上に取れる。
2^m等分が可能なのでM/2^mに対応する点をとれる。
こうしてとった2点X=M/2^m,Y=N/2^nの長さはM/2^m-N/2^nとする。
l上の任意の点Aにたいして、X_n<A<Y_nとなるような点X_n,Y_nをすでに2...続きを読む

Q朝鮮半島の歴史上の人物

現在、韓国の歴史人物について調べているのですが、詳細な資料が見つかりません。
皆さんの知ってる韓国の歴史人物の知識を教えて下さい。
織田信長・徳川家康・源頼朝など、歴史を次の時代に進めた歴史上の人物をお願いします。

私の知っている朝鮮半島の歴史上の人物は安重根・李舜臣ですが、

安重根は、ケネディ大統領を暗殺した犯人・ファイサル国王を暗殺したオマル師・朴正煕大統領を暗殺した金載圭、
などのテロリストの領域を出ない人物だと思います。

李舜臣は日本史上の人物で例えると、九鬼義隆や源義経など現場指揮官クラスの人物です。
源頼朝や織田信長など明確なビジョンを持って歴史を動かした人物ではないと思います。


1)朝鮮半島の歴史上の人物で織田信長・徳川家康・源頼朝など、歴史を次の時代に進めた歴史上の人物。
2)その人物が成し遂げたこと。
3)その人物が出現した後、どう変わったか。
をご教授下さい。

ご協力おねがいします

Aベストアンサー

ここを見て頂ければよいかと思います。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%96%E5%AE%97_(%E6%9C%9D%E9%AE%AE%E7%8E%8B)

Q位相幾何学のことでの問題

平面上の図形で球面と同相なものはないっていう問題です。
イメージは掴んではきているのですがいまいち、わかりません。
だれかお願いします。

Aベストアンサー

さて証明ですが、きちんとやると結構大変なので概要だけ書いておきます。
一応イメージが湧く程度に書いておきますが、適当な図を書きながらイメージをつかんで下さい。

まずどの位相で考えるのかをはっきりさせておきます。
以下では位相空間Xと位相空間Yが同相であることをX~Yを書きます。

球面をSとし、平面(2次元ユークリッド空間)をH、球面と同相なHの部分集合が存在すると
仮定してそれをBとしておきます。(そこから矛盾を導き、Bの存在を否定することで
’平面上の図形で球面と同相なものは存在しない’という質問の命題を証明します。)
BからSへの同相写像(全単射な連続写像)をfとし、SからBへの同相写像(fの逆写像です)
をgとします。

Sの位相はS上の距離で入れます。すなわち;a,b∈Sの距離をaとbを通る大円の弧の長さの短い
方で定義し、球面上の開集合は球面上の各点から距離ε未満(ε>0)の点とします。
この開集合によりSは位相空間になります。
次に、Bの位相は2次元ユークリッド空間Hの相対位相で定義します。すなわちHの開集合と
Bの共通部分をBの開集合とします。(Hの開集合はSの場合と同じく平面上の各点から
距離ε未満の点です)


最初にいくつか必要な言葉を定義します。細かいことは位相数学の教科書でも見て下さい。

●弧状連結性
Xの任意の2点a,b(a ≠b)に対して、
実数の閉区間[0,1]からXへの連続写像fで、f(0)= a,f(1)= bとなるものが存在する、
とき、Xは弧状連結であるといいます。この像f([0,1])はaとbを結ぶ弧と呼ばれます。直観的に
いえば、aとbを結ぶ弧とは、X上の曲線でaとbが端点になっているようなものです。
さらに弧は交点をもたないと仮定出来ます。その理由は、直観的ないい方になりますが、ある弧
が交点を持つとするとループが出来るが、そのループ部分を切捨てたものも弧になるからです。
弧状連結なら連結ですが逆はいえません。

●位相不変性
位相空間の性質(または量)Pで同相写像によって不変であるもの位相不変性(位相不変量)と
呼びます。位相不変な性質は連続写像で移される性質でもあります。
すなわち位相空間Xの部分集合Aが位相不変性Pを持っているとすると、Xから位相空間Yへの
連続写像fによるAの像f(A)もPを持っています。
例えば
コンパクト性、連結性、弧状連結性はいずれも位相不変性です。

●(補助命題)X~Yとし、fをXとYの同相写像。AをXの任意の部分集合とする。
このときX\A ~ Y\f(A)。つまり同相な集合から同相な部分集合を除いたものも同相である。
証明は簡単なのでご自分で考えてみて下さい。同相や連続の概念の理解度を試すのに手頃な問題
だと思います。

さて証明の概要です。
(1)まずSはコンパクトかつ弧状連結(従って連結でもある)です。この証明はいいでしょう。
(2)これらの性質は位相不変量なので、Bもコンパクトかつ連結かつ弧状連結です。さてBの
適当な内点iを取ります。(Bに内点が存在しない場合は別に考えます。)
(3)Bのある2つの異なる境界点sとtを選ぶと、sとtを結ぶ弧であって、iを通り、かつsとt
以外の境界点を通らないようなものが存在します。(*1)
(4)さて、この弧をαとします。Bはαによって2つの領域に分けられます。(*2)
つまりB\αは連結ではありません。
(5)ところで球面Sの点f(s)とf(t)(もちろんf(s)≠f(t))を結ぶ任意の(交点を持たない)
弧βを考えるとSはβで分割されることはありません。すなわちS\βは連結です。(*3)
(6)f(α)もf(s)とf(t)を結ぶ弧なのでS\f(α)は連結です。(fは単射なのでf(α)は交点を
持ちません)しかし先に述べたようにS~Bならば
B\α~S\f(α)
でなければならないのでこれは矛盾しています。(B\α~S\f(α)ならば両方とも連結であるか、
両方連結でないかのどちらかである)                      [証明終]


証明のポイントは(4)(5)の部分です。つまり平面上のコンパクトな集合(有界閉集合)は、
適当な閉じていない、交点もない曲線で2つに分割することが出来るが、球面ではそういうことは
できないということを示しているわけです。またそれが球面に特徴的な位相的性質の1つという
わけです。(もちろんそういう位相的性質を持っている曲面は球面だけとは限らない。すなわち
この性質は平面と球面の位相的区別には役立つが、球面と他の曲面の位相的区別に使えるとは
限らない。)
この辺りの証明はきちんとやろうとすると結構面倒なのでまた後ほど。

さて証明ですが、きちんとやると結構大変なので概要だけ書いておきます。
一応イメージが湧く程度に書いておきますが、適当な図を書きながらイメージをつかんで下さい。

まずどの位相で考えるのかをはっきりさせておきます。
以下では位相空間Xと位相空間Yが同相であることをX~Yを書きます。

球面をSとし、平面(2次元ユークリッド空間)をH、球面と同相なHの部分集合が存在すると
仮定してそれをBとしておきます。(そこから矛盾を導き、Bの存在を否定することで
’平面上の図形で球面と同相...続きを読む

Q好きな歴史人物を教えてください。

好きな歴史人物を教えてください。

自分が好きな歴史人物は坂本龍馬です。
今大河ドラマ龍馬伝でやってる通り生き様が羨ましいです。

他には徳川家康とか暴れん坊将軍吉宗、それに織田信長です。

是非皆さんの好きな歴史人物を教えてください!

Aベストアンサー

『坂本龍馬』=ただの一志士でありながら他の人間とは違った己が信じる平和の道を模索する姿が素敵です。

『高杉晋作』=「おもしろき こともなき世に おもしろく」彼の辞世の句ですが、本当に高杉晋作の人となりを良く表した一句だと思います。

『織田信長』=戦国時代で圧倒的な存在感の信長は本当に男惚れする人物ですね。ただ社会人になった今となっては、もし上司が信長だったら?と考えるととても生きた心地がしませんが・・・。

『豊臣秀吉』=農民から天下人まで駆け上った言わずと知れた、日本史上最大のサクセスストーリーの持ち主。当時としては奇想天外な柔軟なアイディア(墨俣一夜城建設、高松城の水攻めなどなど)はかなり個人的にはワクワクします。また、人心を読み、動かす事にも長け、こう言った部分でも社会人としては見習いたくあります。しかし晩年の朝鮮出兵は秀吉好きの私としても受け入れられませんね。


ちなみに、暴れん坊将軍吉宗はドラマのキャラクターは史実の人物像からはかなりかけ離れてますよ???
史実の人物像はかなりの倹約家で財政難の幕府を立て直すのに必死だったそうです。
とか言いながらも私もドラマの暴れん坊将軍は大好きですけどね

『坂本龍馬』=ただの一志士でありながら他の人間とは違った己が信じる平和の道を模索する姿が素敵です。

『高杉晋作』=「おもしろき こともなき世に おもしろく」彼の辞世の句ですが、本当に高杉晋作の人となりを良く表した一句だと思います。

『織田信長』=戦国時代で圧倒的な存在感の信長は本当に男惚れする人物ですね。ただ社会人になった今となっては、もし上司が信長だったら?と考えるととても生きた心地がしませんが・・・。

『豊臣秀吉』=農民から天下人まで駆け上った言わずと知れた、日本史上...続きを読む

Q位相幾何学

図形X,Yが連結で、X∩Y=φ でないとき
1. X∪Yは連結か?
2. X∩Yは連結か?
という問題なんですけどいくら考えてもわかりません。
ヒントでもかまわないので誰か教えてください。

Aベストアンサー

失礼ながらどうやらtoratora1さんは「連結」に対するイメージが出来て
いないように思われますね。
もちろん数学はイメージだけでは駄目で論理的な証明が絶対に必要ですが、
イメージが湧くとある命題が成立しそうか否かという見当も付けられますし、
証明方針まで考えられるものです。
位相幾何学のような、一般の集合を扱う分野では特にイメージを持つことは大事です。

連結集合というのはイメージでいえば普通に
「くっついている」「つながっている」「一塊になっている」集合のことです。
つまり普通に平面上に(自分自身と交わらない)閉曲線を書けばその閉曲線で
囲まれた図形は連結です。

連結でない集合というのは「複数のパーツにわかれている」集合です。
上の例と同様に平面上に(自分自身と交わらない、また閉曲線どうしも交わらない)
2つの閉曲線を書けば、その2閉曲線で囲まれた図形は連結ではありません。

もちろんこれはイメージであって細かいことをいえば見た目では「くっついている」
ように見えても実は「連結でない」集合、あるいは逆の例はいくらでも存在しますが。
まずは一般的なイメージを持ちましょう。

で、そういうイメージを持てば御質問の命題が正しいか否かの予想は付くと思います。

答だけ書くと
1.X∪Yは連結。
2.X∩Yは連結とは限らない。
です。
1を示すにはNo.70258の回答と同様に
「X∪Yが連結でないとしたら、XかYか少なくとも1つは連結でないか、もしくはX∩Y=φである。」
ということを示します。

2については上のイメージで
「X,Yが連結で、X∩Y≠φ であり、かつX∩Yが連結でない」
ような反例を考えてみましょう。

失礼ながらどうやらtoratora1さんは「連結」に対するイメージが出来て
いないように思われますね。
もちろん数学はイメージだけでは駄目で論理的な証明が絶対に必要ですが、
イメージが湧くとある命題が成立しそうか否かという見当も付けられますし、
証明方針まで考えられるものです。
位相幾何学のような、一般の集合を扱う分野では特にイメージを持つことは大事です。

連結集合というのはイメージでいえば普通に
「くっついている」「つながっている」「一塊になっている」集合のことです。
つまり普...続きを読む

Q歴史上の人物とは?

歴史上の人物、という言い方がありますが、明治の後期の偉大な人でも、生きていると歴史上の人物とは言いませんか?

Aベストアンサー

故人 =歴史上の人物
生存者=立志伝中の人物・傑物・歴史に名を残す人物

と言うと思います。
したがって、生存されている人は「歴史上の人物」
とは言わないと思います。

では。

Qリーマン幾何学を更に発展させた微分計量幾何学

大雑把な言い方ですが、一般相対論によると、物質(エネルギー)があると、その周りの空間が湾曲しますが、その数学はリーマン幾何学によってあらわさせます。

もし、物質の密度が大きいほど、物質が、時間の経過に従い、どんどん収縮すると仮定すると、リーマン幾何学を更に、進化させる必要があるはずですが、そんな数学(微分計量幾何学)は、あるのでしょうか?

追伸

物質の密度が大きいほど、物質が、時間の経過に従い、どんどん収縮するというのは、あくまでも、仮の話です。数学は、物理(現実)と違い、なんでも許される楽しいです。

Aベストアンサー

(3)だと思います。さて、

>更に、曲がった空間が時間の経過に従って、密度の濃さに比例して、

という言い方からして、リーマン幾何より
一般相対論を意識しているんじゃないんですか?

>物理学における物質の大きさは一定

この大きさというのはボーア半径とか、
太陽の大きさみたいなものを指しているわけですか?
それなら、確かにそうですが、それらは大きさが
幾何学的な要因で決まるのではなく、
電磁気力などの他の力の影響のほうが大きくなります。
このへんについては、
池内了著「宇宙と自然界の成り立ちを探る」
が詳しいです。

どうもおっしゃりたいことが分からないんですが、
物理指向(一般相対論など)なのか、数学指向(リーマン幾何)なのか、
数学指向ならば、密度、物質の大きさといった
ここでの物理用語をどう定義するのか、
物理指向ならアインシュタイン方程式を仮定するのか、
それなら、数値相対論とはどのへんが違うのか、
あたりを説明していただかないと先へは進めません。

Q調べやすい歴史上の人物

中学生です。夏休みに、歴史新聞という課題を出されました。
条件は、『死んだ人』なら、誰でもいいらしいです。
でも、私は歴史上の人物の誰かにしたいのですが、どれもピンとこず・・・・。
死んでいて、中学生で習う歴史上の人物で、調べやすい人物はいませんか??

Aベストアンサー

歴史新聞の作り方
http://event.kids.yahoo.co.jp/summer2006/study2/society04/index.html

>中学生で習う歴史上の人物で、調べやすい人物はいませんか??

・聖徳太子
・天智天皇
・天武天皇
・源頼朝・義経
・足利尊氏
・織田信長
・豊臣秀吉
・徳川家康
・西郷隆盛

あたりは、エピソードがたくさん残っているので、やりやすいでしょう。

Q位相幾何学の学習に適した書籍

位相幾何の学習を1から始めるにあたって,最も適した書籍を教えてください.

私が現在持っている参考書は 定義→定理→証明→定理→証明→・・・ のように構成されていますが,あまりに内容が無機質すぎて理解に貢献してくれません.そこで,何か良い参考書はないかと思い,今回の質問に至りました.

現代数学に通用する内容の書籍であれば,古いものでも構いません.

Aベストアンサー

「トポロジー」(基礎と方法) 野口廣 著 (ちくま学芸文庫)
・・・辺りは如何・・!?
(質問者が数学専攻者で、既に知っているという事であればご容赦!!)


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