この問題の解き方教えてください

この問題の解き方教えてください

No.3 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2018/03/09 14:57

答を書く欄が、一つしかないようですが、

同じ勾配の円の接線は２本ありますよね。
（グラフを考えれば、一目瞭然ですね。）

(xー2)²+(y+3)²=5 は、中心座標が (2, -3) の円ですね。
円の中心と接点を結ぶ直線と、接線とは直交します。
従って、接線の勾配が 2 ならば、円の中心と接点を結ぶ直線の勾配は -2 になります。
従って、この直線の式は y=-2x+1 となります。
つまり、接点の x 座標は (xー2)²+{(-2x+1)+3}²=5 で求められる事になります。
(x-2)²+(-2x+4)²=5 → ｘ²-4x+4+4ｘ²-16ｘ+16＝5 → x²-4x+3=0
→ (x-1)(x-3)=0 → x=1 , 又は x=3 。
x=1 のとき、y=-2x+1 より y=-1 、x=3 のとき、y=-2x+1 より y=-5 。
つまり、接点の座標は、(1, -1) 及び (3, -5) となります。
勾配が 2 の接線の一般式は、y=2x+p ですから、上の (1, -1), (3, -5) を代入して、
y=2x-5 又は y=2x-11 となります。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/03/09 14:53

(3) だけでよいのかな？　次の (1) は尻切れトンボだし。

まあ、一番普通にやれば、接線の傾きが「２」と与えられているので、接線の方程式を
　y = 2x + b　　　①
とおいて、円との共有点を求める方程式を作ります。つまり、①を円の方程式に代入して
　(x - 2)^2 + (2x + b + 3)^2 = 5
展開して整理すれば
　x^2 - 4x + 4 + 4x^2 + 4(b + 3)x + b^2 + 6b + 9 = 5
→　5x^2 + (4b + 12 - 4)x + (b^2 + 6b + 8) = 0
→　5x^2 + (4b + 8)x + (b^2 + 6b + 8) = 0

この根が共有点の x 座標ですが、「接点」であるということは「重根」ということですから、判別式から
　D = (4b + 8)^2 - 20(b^2 + 6b + 8) = 0
これを解けば
　16b^2 + 64b + 64 - 20b^2 - 120b - 160 = 0
→　-4b^2 - 56b - 96 = 0
→　b^2 + 14b + 24 = 0
→　(b + 2)(b + 12) = 0
よって
　b = -2, -12

これを①に代入して、接線の方程式は
　y = 2x - 2
　y = 2x - 12

No.1 回答者： 酢酸納豆 回答日時： 2018/03/09 12:32

(3)点と直線の距離の公式でも使いしょう。

接線をy= 2x+kとおく。これを変形して
2x-y+k=0とする。接線と円の中心との
距離をdとすると
d=|2×2-1×(-3)+k|/√2^2+(-1)^2=√5
より計算して
d=|7+k|/√5=√5
したがって
|7+k|=5
7+k=±5
k=-7±5=-12,-2
ゆえに接線は
y= 2x-12とy= 2x-2
となる。
(1)Ｐの座標を(m・n)とおく。
AP^2=(-3-n)^2+(1-m)^2
BP^2=(2-n)^2+(0-m)^2
これらより与式に当てはめて計算すると
10n-2m=2
m=5n-1
したがって
y= 5x-1
違ってたらゴメン。