モンティーホール問題についての質問です。モンティーホール問題そのものの内容は検索すればでてくるし。

Question

モンティーホール問題についての質問です。
モンティーホール問題そのものの内容は検索すればでてくるし。
この質問に回答できるぐらい
数学がわかる人ならすでに知ってる
のではと思い。
モンティーホール問題、そのものの
説明は、割愛します

モンティーホール問題の正解の
マリリンさんの、
扉を変えたほうが
確率が二倍の2/3になるのよ。
についての
理由説明について、
扉が100個だったらなど。
扉の数を増やした例で解説してるものが、よくありますが。
どうして、扉の数を増やして
説明する必要あるの？
などが疑問です。

そこで、
自分なりに扉の数が３つのままで。
下記のように考えました。

『その1』
扉が、A,B,Cの３つがあった。
挑戦者は、Bを選んだ。
モンティーホールさんが
Cの扉を開いて外れです。
最初に選んだBのままにするか？
Aに変えるか？
質問するのは。

『その2』
まだ３つの扉が閉まってる
最初の状態のはじめの段階で、
ア) Bを選んでBが当たりなら当たり
イ) ACの二つを同時に選んでよくて。
      AとCのうちいずれかが当たりならば
      当たったことにしてあげる。
(ア)、(イ)のうちどちらにする？
と質問する。

その1のBのままにするが
その2の(ア)を選ぶに
対応し、当たる確率1/3
その1のAに変えることが
その2の(イ)を選ぶに
対応し、当たる確率2/3

ということで、
その1、その2は同じことではないか。
と思いました。

ここで質問内容を再度、まとめる。

1、上記の自分なりの解釈が正しいか。
もし、正しければ。
なぜ、扉の数を100個にした例で説明してるものが多いのか。
元の話が3個なら3個で説明したほうがよいのでは。そこについて、
実際どうなのか教えてほしいです。

2、上記の自分なりの解釈が
間違いならば、その理由が知りたいです。

3、そもそも、100個の扉の例での
理由説明について、
私が解釈したのは、
下記の内容ですが。
それは、正しい解釈でしょうか？

100個の扉で一つ選んでもらって。
他の扉の99個の扉のうち98個の
外れ扉を開いて。
まだ開いてない扉が二つあるが。
最初に選んだもののままだと。
当たる確率1/100
もう一方に扉を変えると
当たる確率99/100
だから、変えたほうが。
確率が、すごく高くなるよ。

という意味で良かったか？
もし、この解釈が正しいならば、
なぜ、1で言及したように
元が3つの扉だから、3つの扉の
例で説明しきってくれないのか？
というのが
気になります。

モンティーホール問題の正解の
理由について、書かれたものが
なぜ、100個などの扉の数を
増やしたものしかないのか？
(探した限りではそうです。)

なにか、私の気がつけていない
理由などがあるのかなどが
気になります。

最後に、
自分の考えを詳細に書いて
間違いについて、詳しい人が
突っ込みしてくだされば。
知らないこと。理解不足なところに
気がつけるのではないかという
期待感があり。
こんな質問させていただきました。

よろしくお願いいたします。
回答に補足を求めたりすることも
あるこもしれません。

なお、
誹謗中傷はご遠慮願います。

kamiyasiro · Accepted Answer

#2です。

肝心なことを書き忘れていました。

条件付き確率が、

P(モンティの答B｜Aあたり)
P(モンティの答B｜Bあたり)
P(モンティの答B｜Cあたり)

と書かれるのに対して、事後確率は（もう色々とお調べになってご存じかも）、

P(Aあたり｜モンティの答B)
P(Bあたり｜モンティの答B)
P(Cあたり｜モンティの答B)

という条件付き確率になります。つまり、モンティの答がBという事象が観測されたという条件付きで、Aあたり、Bあたり、Cあたりの各々の確率が求められるということですが、もっと重要なことは、｜の前後が逆になっているということです。

すなわち、ベイズとは「逆問題解析」ができるということで、それは、例えばタイタニック号を例に出すと「生存者のうちの女性の確率」から「女性ならば生存できる確率」が求められるということです。

もうちょっと卑近な例で書くと、ネットショップで「A商品を購入した客がB商品を閲覧している確率」から「B商品を閲覧している客がA商品を購入する確率」が求められますので、リコメンド・エンジンとしてとても重要な役割を果たすのです。

kamiyasiro · Answer

#2です。

まだ、条件付き確率について、ご理解が不十分なようです。非常に重要ですのでしっかりご理解されることが肝要です。
エセ解説を書かれる方々は、ここが良く分からないので、場合分けとかに逃げているのです。

条件付き確率とは、Aあたり、Bあたり、Cあたりというような、前提条件に関して、「Bを開いて見せる」というモンティの答が観測される確率で、

P（モンティの答B｜Aあたり）＝1/2
P（モンティの答B｜Bあたり）＝０
P（モンティの答B｜Cあたり）＝1

と書きます。「縦棒」以降が条件付き確率の「条件」の部分になります。

事前確率はランダムなので、皆1/3というように一様分布を仮定していますが、このモンティの答が条件付き確率となっているために、事後確率が変化するのです。

三浦俊彦著　論理パラドックス―論証力を磨く99問では、38と39がベイズの問題で、バリエーションを変化させた、興味深い枝分かれ問題が示されています。

１の問題では、男の子が１人でもいれば、家人は100％「ひとりは男の子」と言うことができますので、（男男）（男女）（女男）という各条件の時の、条件付き確率は１になります。

２の問題では、あなたが男の子を見かける確率は、（男女）（女男）という各条件のときは、1/2でしかありませんが、（男男）という条件のときは100％見かけることが可能になります。

では、ベイズの公式
（周辺確率）＝（事前確率）×（条件付き確率）
（事後確率）＝（周辺確率）／（周辺確率の総和）
で求めてみます。

39の１
・引っ越してきた隣家の子供は２人で、家人はひとりは男の子であると言った。このとき、子供が2人とも男の子である確率は？（なお、男児女児の出生率は同じとし、事前確率は各々1/4とする）

39の1の周辺確率は、男の子が１人でもいれば、家人の答「ひとりは男の子」が100％観測されるから、
（男男）1/4・1＝1/4
（男女）1/4・1＝1/4
（女男）1/4・1＝1/4
（女女）1/4・0＝0
これらの和は3/4だから、事後確率は、（女女）を除いていずれも1/3

39の２
・引っ越してきた隣家の子供は２人で、窓から男の子がひとり顔を出しているのが見える。このとき、子供が2人とも男の子である確率は？（なお、男児女児の出生率は同じとし、事前確率は各々1/4とする）

39の2の周辺確率は、窓から顔を出すことに恣意性がないなら、男女の子のときは、あなたは1/2の確率でしか男の子を観測できないが、男男の子のときは100％男の子を観測可能なので、
（男男）1/4・1＝1/4
（男女）1/4・1/2＝1/8
（女男）1/4・1/2＝1/8
（女女）1/4・0＝0
これらの和は1/2だから、事後確率は、（男男）は、1/4÷1/2＝1/2

単なる場合分けですと、この２問の違いが表現できませんので「美しい・・・」に書いてある解説は間違いと言うことになります。

条件付き確率は、現在は高校の数Aで学んでいるはずです。しかし現在の高校の先生方は、理解しておられる人が少なく、正しく教えられているかどうか、大変心配です。

kamiyasiro · Answer

#2です。

ご質問者が参考にされた、「美しい・・・」のサイトを見ました。このサイトの解説はエセ解説です。場合分けしかしていません。それも４つに場合分けすることがおかしいです。

この問題は、Aあたり、Bあたり、Cあたりの３ケースしかなく、各ケースは均等に1/3ずつ発生する確率があるというのが事前確率です。これらの事後確率について論じます。

「美しい・・・」のサイトでは、これら事後確率に重要な影響を及ぼす「Bを開いて見せる行為が観測される」という事象の確率がなぜ変化するかを論じていません。ここが本当は一番重要な「条件付き確率」なのです。

ネット上では、こういう解説が横行しています。ベイズを理解せずにベイズ以外で説明すると、例えば次のような問題で破綻します。

三浦俊彦著　論理パラドックス―論証力を磨く99問

39の１
・引っ越してきた隣家の子供は２人で、家人はひとりは男の子であると言った。このとき、子供が2人とも男の子である確率は？（なお、男児女児の出生率は同じとする。）
39の２
・引っ越してきた隣家の子供は２人で、窓から男の子がひとり顔を出しているのが見える。このとき、子供が2人とも男の子である確率は？（なお、男児女児の出生率は同じとする。）

１の解　1/3・・・家人の発言が条件付き確率になります
２の解　1/2・・・あなたが見かけることが条件付き確率になります

起こりうるケースは、（男男）（男女）（女男）（女女）の４ケースです。事前確率は均等に1/4ずつ割り振られます。

kamiyasiro · Answer

#2です。

短期間で、しかも、私の短い文章をもとに、ここまでご理解されるとはすごいことです。このまま専門書を購入して一気にベイズ逆推定にまでご理解を進められてはいかがでしょうか。

さて、『条件付き確率そのものについては、式にはしてなく(できない)、これは、各々の事象に合わせ樹形図や表のようなもので一個一個考えるしかない。』と書いて頂きましたが、これについて言及します。

モンティ・ホール問題では「Bの扉を開けたことが観測された」サイコロの事例では「10個の出目が観測された」という観測の前後で確率が変化するのですが、観測がランダムであれば、観測前後の確率は変化しません。今は、観測が条件付きで生成されています。そのランダムではないという観測の確率分布を表す関数として『尤度関数』という式が用いられます。モンティ・ホール問題は固定確率で分布を持たないので、尤度関数を用いません。

一方、コイントス問題のように、観測事象が２項分布であれば、条件付き確率として用いる尤度関数は２項分布を使い、それに対して自然共役事前分布はベータ関数を用いる、というようになり、これは厳密に証明されています。特殊なものとしては、サイコロ問題では、観測事象、尤度関数は多項分布で、自然共役事前分布はディレクレ分布が用いられます。これが今流行しているノンパラベイズっていうやつです。

ですから、条件付き確率の式というのはかなり重要なのです。一個一個考えるしかない。というように思わせるような書き方をしてしまい、申し訳ありませんでした。

kamiyasiro · Answer

#2です。

ベイズの公式は、そんなに難解ではなく、すぐに理解できると思います。データサイエンスを勉強していると次のステップである「分布への拡張」に進むことになりますが、そこに壁があります。ベイズの公式の分母(周辺確率の総和)が積分に変わり、事前確率も自然共役事前分布というある分布を持つようになるからです。

ベイズの公式を文字で書きますと、

(事象Aの事後確率)＝(事象Aの周辺確率)／(周辺確率の総和)

(周辺確率)＝(事前確率)×(条件付き確率)

「司会者がBの扉を開ける」という事象が観測される条件付き確率は、
Aあたりのとき、BもCも空なのでどちらでも良いから、1/2
Bあたりのとき、Bを開けることはできないので、0
Cあたりのとき、モンティの選択肢はBしかないから、１
ですから、

周辺確率は、(事前確率)×(条件付き確率)ですから、
Aあたりのとき、1/3×1/2＝1/6
Bあたりのとき、1/3×0＝0
Cあたりのとき、1/3×1＝1/3
と計算されますし、その総和は、1/6＋0＋1/3＝3/6＝1/2となります。

よって、それぞれの事後確率は、(各事象の周辺確率)／(周辺確率の総和)ですから、
Aあたりのとき、1/6÷1/2＝1/3　(そのまま変更しないとき)
Bあたりのとき、0
Cあたりのとき、1/3÷1/2＝2/3　(扉を変更したとき)
と計算されます。

この結果より、司会者がBの扉を開けるという観測が生じた後は、事象Cの方が生成確率が高くなると計算されます。

ベイズは、最初はこのような条件付き確率を学び、次に積分公式、最後にMCMCへ進みます。MCMCまで進むと、次のような問題が解けるようになります。

今、サイコロを10回振った。観測された目は『2,3,5,4,5,3,1,5,1,5』である。６の目は出ていない。このサイコロの6の目が出る確率を求めよ。統数研の樋口所長が、講演で使われていた事例ですよね。

答は、平均が約0.016、標準偏差が0.036という確率(分布を持ちます)となります。

１度も観測されないのだから０、いやいやそんなの最初から1/6、と思った人は、最新のデータサイエンスの勉強は諦めた方がよいです。

kamiyasiro · Answer

企業でSQCを推進する立場の者です。

モンティ・ホール・ジレンマの問題は、ベイズの問題であり、条件付き確率の問題です。それを100個のクジで説明しているケースは、私は殆どがエセ解説だと思います。なぜなら、100人の説明をする人の殆どが、この問題を「条件付き確率」で説明をしていないからです。

「商店街の福引で、100人が列を作っていて、あなたは最後尾です。これまで98人がハズレを引いています。あなたは、お金を払ってでも、前に並んでいる99人目と交代してもらいますか。」答は「ノー」です。それまでランダムな選択が行われている限り、残りの確率は、1/2，1/2です。

司会者のモンティ・ホールは賞品のありかを知っています。100人の福引のケースで、恣意的にハズレを98回も連続して開いていったら必ず不正がバレます。

ABC３つの扉があり、最初の事前確率を全て1/3と置きます。参加者がAを選んだとします。このとき、モンティ・ホールがBを開けて見せる条件付き確率は、
Aあたりのとき、BもCも空なのでどちらでも良いから、1/2
Bあたりのとき、Bを開けることはできないので、0
Cあたりのとき、モンティの選択肢はBしかないから、１

このような、条件付き確率がケース毎に異なるために、事前確率に対して事後確率が変化していくのです。

ご質問者の説明にも、「条件付き確率」に言及されていませんので、私は、キチンと理解されているのではないと拝察しました。

kmee · Answer

この問題の肝は、
「外れの扉が開かれても、最初に選んだときと確率が変わるワケが無い」
という思い込みと、実際の確率とに不一致がある、ということだと思っています。

本当は「最初に選んだ扉Bが当たる確率」 と 「選ばなかったAまたはCが当る確率」と考えなければならないのに、
「最初に選んだ扉Bが当たる確率」 と 「選ばなかったAが当る確率」と考えてしまい、Cについて考えなくなってしまうのが原因ではないか、と思います。

冷静に考えれば「その1」と「その2」は、たしかに同じなのですが、
「見た目」だけで言うと、1枚だけ選ぶように見える「その1」と、2枚選べる「その2」とでは、違って見えます。

「確率は変わらない」と思っている人に「その2」で説明しても
「それは、扉を2枚選んでいるからであって、『その1』とは違う」
と言って、納得してくれないのではないでしょうか?

そんな人達を納得させるには、次のような違いが感覚的に実感できるような説明が有効だと思います。

・実際に何度もやって、確率を実測してみせる。
100回とか大量やってみせて、変えたときと変えなかったときの正解数をグラフにすれば一目瞭然です。

・強調したモデルを使い、当選確率が上昇する様子を、気持で実感させる。
100枚の扉は、こちらのケースです。
97枚の扉が、当たりを避けて開かれていく様子は、とても説得力があります。

モンティーホール問題についての質問です。 モンティーホール問題そのものの内容は検索すればでてくるし。

#2です。

#2です。

#2です。

#2です。

#2です。

企業でSQCを推進する立場の者です。

この問題の肝は、

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