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モンティ・ホール問題が分かる人に質問です。モンティ・ホール問題ではなぜ最初に選んだドアを開けた方があたりやすいという結論になったのでしょうか?出来るだけわかりやすくご説明お願いします。

A 回答 (5件)

ん?確率論で言うのなら逆です。



モンティ・ホール問題は「最初に選んだドアとは異なるドアを選んだ方が確率が高い」が答えです。

以下、解説。

まず1回目の選択。ドアがABCだとして、Aを選ぶ。
Aが正解である確率は1/3ですよね。当然ですが、Aでない=BかCである確率は2/3。

次にモンティがAでないドア(仮にCとする)を開ける。それは常にハズレである。

2回目の選択。
Aが正解である確率は変わらず1/3である。(Cを開いても確率自体は変わらない)
Bが正解である確率は1回目の「BかCである確率」なので、2/3である。
つまり、Aが1/3、Bが2/3なので、Bを選んだほうが当たりやすい。

こんな感じでわかりますかね?
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わかりやすく説明は少し難しいですかね…。

と言うのもあれは直感に反しているので、パターンを全て書き出して納得するしかないと思うんですよね。

あとモンティ・ホール問題は選びなおした方が確率あがりますよ。
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モンティーホール問題は、最初に選んだドアで無いドアを選んだ方が当たりを選ぶ確率が高くなると言う問題だと思いますが?


最初に選んだドアを開けた場合は、当たりの確率は1/3です。
選んでいない、2つのドアのうち、モンティーが開かなかったドアを選んだ場合の、当たりの確率は2/3です。
つまり、最初に選んだドア以外のドアで、モンティーが開かなったドアを開いた方が当たりの確率が高くなると言う問題では無いですか?
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http://www.idea-sense.com/entry/2016/01/14/120000・・

見ましたが これって 「マジシャンズ セレクト」ですよ・・
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モンティ・ホールというのはアメリカのバラエティ番組の司会者の名前。その番組のコーナーで、挑戦者に三つのドアのうち一つだけある当たりのドアを選んだら新車がもらえるというのがあった。当たりか外れかは、ドアを開いて向こうに新車があれば当たり、ヤギがいたら外れという趣向だった。
挑戦者がドアをひとつ選んだあと、モンティは残り二つのドアから一つ外れのドアを開けてヤギを見せて、さあ、今なら、まだドアを選び直せるけど最初のドアのままでいいか挑戦者にきく。このとき、最初のドアのままの方がいいのか、選び直す方がいいのか、という質問が、ニュース雑誌に何でも答えるコラムを担当していたIQ200で全米で有名なマリリン・ボス・サヴァン女史に寄せられた。マリリンは、選び直せば当たる確率は二倍になると答えたところ、数学者を含む九割がたの読者からいくらなんでも間違っていると批判されることになった。
三つあるドアのうち、挑戦者が選んでいない一つのドアがモンティから外れと知らされ、残り二つのドアは、当たり外れ半々だから、どっちを選んでも当たる確率は同じじゃないか、と大方の人は思ったわけ。
マリリンが言うにはこうだ。何、言ってるの。挑戦者が三つあるうち一つ選んだ時点で、そのドアが当たりの確率は三分の一。これは、モンティが残る二つのドアから一つ外れのドアを開けても、三分の一のまま。逆に言えば、そのドアが外れの確率は三分の二のまま。ということは、まだ当たりか外れか分かっていないドアが当たりの確率も、三分の二になるのよ。

マリリンの説明を図入りでやり直すと、こうなる。
最初は、どのドア(当たりか外れか分かっていないものを□、外れを■で表す)も当たりの確率は三分の一。
□□□

挑戦者が選んだドアを○で表す。挑戦者が選んだドアが当たりの確率は三分の一。
○□□

モンティが外れだよと開いたドアを■で表す。
○□■
このとき、挑戦者が選んだドア○の当たりの確率は三分の一なので、残りのドア□が当たりの確率は、1 - 1/3で、2/3。

これで数学者をはじめ納得する人が増えたものの、なんだか腑に落ちない人はまだ多かった。マリリンの理屈は、当たりか外れかまだ分かっていない残りのドアにも当てはまるように思えたからで、残りのドアが当たる確率もまだどれも選んでいない時点では三分の一なのだから、挑戦者が最初に選んだドアの当たる確率が三分の二と解釈しても良さそうじゃないか、何か変だ、丸めこまれている気がするというわけ。
こういう人たちに対しては、ドアの枚数を増やして説明することで、ざっくり、次のようなことが伝われば、納得する人は増えたが、納得できない人はまだ残ってしまった。
n枚のドアのうち一枚だけ当たりのドアがある。挑戦者が一枚選らんだあと、モンティが残りのドアから一枚、外れのドアを開けて見せたあと、挑戦者が選び直せば当たりの確率は高まる。なぜなら、挑戦者が最初に選んだドアが当たりの確率は、n分の1で、選び直したドアが当たりの確率は、n分の(n-1)を(n-2)で割った値になり、こればn分の1より大きいから。(こども向けには、nを使った式ではなく、nに具体的な数値を当てはめて、いくつか示すほうが分かりがいいだろう)
n=3のとき、1/3 < 2/3
n=4のとき、1/4 < 3/8
n=5のとき、1/5 < 4/15
n=10のとき、1/10 < 9/80
n=100のとき、1/100 < 99/9800

それでも納得できない人は、論理的理解より直感による心理的錯覚の罠に陥ってしまっているので、試行回数を相当繰り返して実際にやってみないと実感しない。マリリンの言っている内容は理解しがたいがやってみた結果からは正しそうだ、となる。

というわけで、モンティ・ホール問題というのは、三枚のドアから一枚選らんで当たりを当てるこの問題自身を指したり、直感で正しいとおもえる答えと論理的に正しい答えが食い違うジレンマを指す代表的な例としても使われる。

数学者が惑わされたのは、この番組を見たことがなくて、モンティが外れのドアを開いて見せたあと、挑戦者がドアを選び直すとき、自分が選んだドアがどっちなのか分からない状態にしてから選び直すものだと言う具合に錯覚をしてしまったか、あるいはマリリンがそのあたりを誤解の余地がないよう読者に向けて丁寧に説明しなかったのが原因のようだ。

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みたいな問題です(わかりづらくてすみません)。

Aベストアンサー

モンティホール問題は、最終状態から見た直観的な確率と、そこに至るまでの経緯を考慮に入れた確率には違いがあるということです。

もう少しわかり易い例を挙げると、
パチンコ台のように釘をたくさん打ち付けた板の下に、箱が100個あります。
パチンコ台の上からボールを落とすと、必ずどれかの箱に入りますが、どの箱に入ったかはわかりません。

さて、ボールを落として箱に入れたあと、質問者様が箱を1つ指定します。この箱にボールが入っている確率は1/100ですね。
ということは、残りの99個の箱にボールがある確率は99/100です。
ボールが入っている箱を知っている人が、「ここにはないですよ」と見せていくわけですが、このとき、質問者様が100個の箱から1個を選んだ、という事実に変化は起きません。
つまり、質問者様が選んだ箱にボールがある確率は常に1/100で、それ以外の箱にボールがある確率は常に99/100です。
たとえ、司会者が質問者様が選んだ箱と、それ以外に1個を残したとしても、質問者様の選んだ箱にボールがある確率は1/100で、もう一つの箱にある確率は99/100になります。

でも、ここまでの経緯を知らない人が選ぶ場合は、どちらかに入っているわけですから、1/2になる、ということです。



極端な例で言えば、2つの箱のどちらかにボールを入れるとして、どちらに入っているかわからない人にとっては当たる確率は1/2ですが、ボールを入れた人から見れば、どちらかが100%で、もう片方は0%なわけです。
この「ボールを入れた人から見れば…」というところに不確定要素を入れて確率の問題的にしてあるのがモンティホール問題です。

モンティホール問題は、最終状態から見た直観的な確率と、そこに至るまでの経緯を考慮に入れた確率には違いがあるということです。

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Q林先生VS世界の超天才のモンティホール・ジレンマ

本来は、TV番組のカテかもしれませんが、
こちらの方々の方が興味・関心を持って観ていらしたと
思われますので、是非ご回答お願いします。

東海地方では、昨夜、林先生VS世界の超天才という番組が放映され、
その中で、天才としてサヴァント女史が取り上げられていました。

当然、モンティホール・ジレンマの一件が出てくるわけで、
その説明を東進ゼミ?の同僚の先生がされていましたが、
それが、「トンデモ」説明だったようなのです。

私は、他ごとをしながらチラ見してたので、
よく分かりませんが、
「1万件のクジで、9998件ハズレが出たら、
あなたは、当然、答を変えるでしょ」的な説明だったのです。

ここで重要なのは、9998件のハズレを見せた人が
「それらがハズレであることを知っていて見せた」かどうかですが、
説明した人は、そこに言及しましたか?

前置きが長くてスミマセン。
質問は、知っていてハズレを示したか、という核心部分です。
宜しくお願いします。

私は企業で統計を推進する部署にいるんですが、
こういうのって、社内で問合せがあるのです。
(特に偉い人、わからんかったので説明しろ、とか・・・)

本来は、TV番組のカテかもしれませんが、
こちらの方々の方が興味・関心を持って観ていらしたと
思われますので、是非ご回答お願いします。

東海地方では、昨夜、林先生VS世界の超天才という番組が放映され、
その中で、天才としてサヴァント女史が取り上げられていました。

当然、モンティホール・ジレンマの一件が出てくるわけで、
その説明を東進ゼミ?の同僚の先生がされていましたが、
それが、「トンデモ」説明だったようなのです。

私は、他ごとをしながらチラ見してたので、
よく分かりませんが、
「1...続きを読む

Aベストアンサー

#10さん
まさに、私も、#5の回答の段階では、あなたと全く同じように「とにかく結果としてハズレが示されたこと」のみが重要であって、扉を開けた人が正解を知っていたかどうかは本質ではない、と考えていました。

しかしながら、#8に計算を示しましたが、モンティがあらかじめ正解を知っていて意図的にハズレの扉を開けた(さらに、モンティがあらかじめ正解を知っているという事実をプレイヤーも知っている)、のと、正解を知らないモンティがたまたまハズレの扉を開けた、のでは、状況が全く違うことになってます。

#8の計算から言えることは、
・モンティがあらかじめ正解を知っている(したがって100%の確率でハズレの扉を開ける)
(かつ、プレイヤーも、このの事実を知っている)
という条件が成り立つ場合は、プレイヤーが選択を変えないと正解の確率は1/3になる(したがって選択を変えたほうが良い。)

一方で、モンティがたまたまハズレの扉を開けた場合であれば、選択を変えないプレイヤーの正解確率は1/2、したがって、選択を変える必要はない

ということです。


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