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直線3x+1/2上の点(p,q)から放物線y=x二乗の法線は何本引けるか調べよという問題なのですがg(t)=2t三乗-6pt-p=0というところまでわかってpで場合分けするということまで分かるのですがp<0のとき
なぜg'(t)≧g'(0)=-6p>0というふうになるのでしょうか

質問者からの補足コメント

  • すみません。全く分かりませ

      補足日時:2018/03/30 22:54

A 回答 (2件)

g'(t)=6t²-6pだから 6t²≧0 の両辺から6pをひけばg'(t)≧-6p=g'(0)ですけどね?

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何本と言うからには自然数の回答を求めているわけで、それを前提に含めて解くのだと思います。

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Q放物線に何本の「法線」が引けるでしょうか

お世話になります。
この問題は有意義だと思いますので、お時間のある方は考えていただけないでしょうか?

平面上に放物線があります。また、平面上に1点があるとき、そこから放物線に何本の接線が引けるでしょうか?

これは直感的にも明らかです。たとえば、放物線をy=ax^2(a>0)、点を(p,q)とすると、
q>ap^2のとき、0本
q=ap^2のとき、1本
q<ap^2のとき、2本

では、平面上に放物線があります。また、平面上に1点があるとき、そこから放物線に何本の「法線」が引けるでしょうか?

これは直感では解けなくて、多くの計算がいりそうなのです。

Aベストアンサー

放物線 y=ax^2 上の点(t,at^2)における法線は
y-at^2=(-1/2at)(x-t)
これが(p,q)を通るので 2a^2t^3-(2aq-1)t-p=0 となります。
f(t)=2a^2t^3-(2aq-1)t-p とすると
f’(t)=6a^2t^2-(2aq-1) であるから
(ア) 2aq-1≦0 のとき
  f’(t)≧0 より、f(t)=0 を満たす実数tは1個
(イ) 2aq-1>0 のとき
  f’(t)=0 の解をt=±αとすると α=√{(2aq-1)/(6a^2)}
  f(t)=(1/3)t×f’(t)-(2/3){(2aq-1)t+p}より
  f(α)×f(-α)=2{6(ap)^2-(2aq-1)^3}/(27a^2) であるから
  (増減表をイメージして)
 (イ-1) 6(ap)^2-(2aq-1)^3<0 のとき
   f(t)=0を満たす実数tは3個
 (イ-2) 6(ap)^2-(2aq-1)^3>0 のとき
   f(t)=0をみたす実数tは1個
 (イ-3) 6(ap)^2-(2aq-1)^3=0 のとき
   f(t)=0を満たす実数tは2個  となると思います。

放物線 y=ax^2 上の点(t,at^2)における法線は
y-at^2=(-1/2at)(x-t)
これが(p,q)を通るので 2a^2t^3-(2aq-1)t-p=0 となります。
f(t)=2a^2t^3-(2aq-1)t-p とすると
f’(t)=6a^2t^2-(2aq-1) であるから
(ア) 2aq-1≦0 のとき
  f’(t)≧0 より、f(t)=0 を満たす実数tは1個
(イ) 2aq-1>0 のとき
  f’(t)=0 の解をt=±αとすると α=√{(2aq-1)/(6a^2)}
  f(t)=(1/3)t×f’(t)-(2/3){(2aq-1)t+p}より
  f(α)×f(-α)=2{6(ap)^2-(2aq-1)^3}/(27a^2) であるから
  (増減表をイメージして)...続きを読む

Q内接球の計量

1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。
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(1)長方形DBFHをかき、三角形ACFとの交線と点Pを図示せよ。
さらに、線分BP、PQの長さは?

(2)四面体ABCFに内接する球の中心をOとする。
点Oは線分BP上にあることを示せ。

(3)四面体ABCFに内接する球の半径を求めよ。


解ける方いらっしゃいましたら
解説お願いしますm(_)m

Aベストアンサー

>Qは面EFGH上として回答します。
(1)長方形DBFHをかき、三角形ACFとの交線と点Pを図示せよ。
さらに、線分BP、PQの長さは?
>立方体ABCD-EFGHの上面を反時計回りにABCD、下面を同じくEFGH
(Aに対応する点をE)とすると、長方形DBFHはDB=FH=√2、BF=DH=1
の長方形となり、線分ACがBDの中点(Rとする)を通るので、三角形
ACFとの交線は、RとFを結ぶ線分RFとなり、点Pは線分RFと線分BH
との交点となる。
△BPR∽△PFHからBR/FH=BP/PH、BH=√{1^2+(√2)^2}=√3から
PH=(√3)-BPなので、BR/FH=BP/{(√3)-BP}=1/2から
BP=(√3)/3・・・答え
△BFH∽△PQHからPQ/BF=PH/BH=[(√3)-{(√3)/3}]/√3=2/3
よってPQ=(2/3)BF=2/3・・・答え
(2)四面体ABCFに内接する球の中心をOとする。
点Oは線分BP上にあることを示せ。
>Oから△ABFへ下ろした垂線の長さとOから△BCFへ下ろした垂線
の長さは等しい。ということはOは長方形DBFHの面上にある。
同じくOから△ABFへ下ろした垂線の長さとOから△ABCに下ろした
垂線の長さは等しい。ということはOは長方形ABGHの面上にある。
長方形DBFHと長方形ABGHの交線はBHであり、BHと△ACFとの交点が
Pであるから、Oは線分BP上にあることになる。
(3)四面体ABCFに内接する球の半径を求めよ
>内接する球の半径をrとすると四面体ABCFの体積は、△ABC、
△ABF、△BCF、△ACFのそれぞれを底面とする高さrの4個の三角錐
の体積の合計になる。
△ABCの面積=△ABFの面積=△BCFの面積=1/2、△ACFは1辺の長さが
√2の正三角形なので、その面積=(√3)/2
よって、四面体ABCFの体積=(1/3)r{3*(1/2)+(√3)/2}={(3+√3)/6}r
一方、四面体ABCFを底面が△ABCで高さBFの三角錐として体積を計算
すると、四面体ABCFの体積=(1/3)*(1/2)*1=1/6。よって
{(3+√3)/6}r=1/6からr=1/(3+√3)=(3-√3)/6
以上から、四面体ABCFに内接する球の半径は(3-√3)/6・・・答え

>Qは面EFGH上として回答します。
(1)長方形DBFHをかき、三角形ACFとの交線と点Pを図示せよ。
さらに、線分BP、PQの長さは?
>立方体ABCD-EFGHの上面を反時計回りにABCD、下面を同じくEFGH
(Aに対応する点をE)とすると、長方形DBFHはDB=FH=√2、BF=DH=1
の長方形となり、線分ACがBDの中点(Rとする)を通るので、三角形
ACFとの交線は、RとFを結ぶ線分RFとなり、点Pは線分RFと線分BH
との交点となる。
△BPR∽△PFHからBR/FH=BP/PH、BH=√{1^2+(√2)^2}=√3から
PH=(√3)-BPなので、BR/FH=BP/{(√3)-BP}=1/2から
BP=(√3)/...続きを読む


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