この問題の途中式を教えてください。 答えはAが135° BD＝√10 S＝7です。

この問題の途中式を教えてください。

答えはAが135°
BD＝√10
S＝7です。

No.2 回答者： lawson 回答日時： 2018/04/03 13:23

ポイントは、

円に内接する四角形の対角の和が180°だから、
∠BAD=αとおくと。
∠BCD=180°-αとおけること。

cos(180°-α)
=-cos(-α)
=-cos(α)
であることをつかって。

BDについての(私はxとおいたが)
余弦定理の式を２つ作る。

ここでは、まだ、αの角度がわからないので。
2式を連立してcosαがある項を消してxだけの式にしてしまうのがポイント。

BDが長さがわかれば、
αも、対角もでる。

対数線で区切られた２つの
三角形について、
２辺と間の角がでたので。
1/2absinθの公式で
三角形の面積をそれぞれ求め。
２つの三角形の面積の和が
Sになります。

たぶん。この画像のようになると。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/04/03 13:22

円に内接する四角形の向かい合う角の性質から∠C=180°-∠A

→cosC=cos(180-A)=-cosA
△ABDと△BCDにおいて余弦定理
BD²=AB²＋DA²－2ABDAcosA・・・①
BD²=BC²＋CD²－2BCCDcosC
→BD²=BC²＋CD²－2BCCD(-cosA)・・・②
①を②へ代入
AB²＋DA²－2ABDAcosA＝BC²＋CD²－2BCCD(-cosA)
2+4-4√2cosA=16+18+24√2cosA
28√2cosA=-28
cosA=-1/√2
A=135°　　　(∵0<A<180)

これを①へ戻して
BD²=2+4-4√2cos135=2+4-4√2x(-1/√2)=10
BD＝√10

次にA=135より　C=45°
S=△ABD＋△BCD
=(1/2)ABADsinA+(1/2)CBCDsinC
=(1/2)x2x√2sin135+(1/2)x4x3√2sin45
=(1/2)x2x√2x(1/√2)+(1/2)x4x3√2(1/√2)
=1+6
=7

このように考える事ができそうです＾＾￥