わかりやすく解説お願いします。

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No.1 ベストアンサー 回答者： ひさっぴぃ 回答日時： 2018/04/13 01:35

ＢＤの長さ（立方体を構成する面の対角線）が２ｃｍ

なので、まずはＢＣなどの１辺の長さを求めます。
三角形ＢＣＤは垂直二等辺三角形なので
辺の比率　１：１：√２　が使えます。
ＢＤ（比率では√２の部分）が２ｃｍなので
ＢＣ他、立方体の各辺の長さは
ＢＤに対して　２＊（１／√２）　となります。
よって立方体１辺の長さは　２／√２
分母有理化すると　√２
続いて、三角錐
画像で見やすいＢＥＦＧを使いましょうか。
三角錐の体積は、同じ底面の三角柱の体積の１／３です。
なので、
底面積（三角形ＥＦＧ）
　　　√２　＊　√２　＊　１／２　＝１
に、高さ（ＦＢ）と１／３をかけると　√２／３
これが、Ａ、Ｃ、Ｆ、Ｈを頂点とする４箇所にあるので
合計値　４√２／３
これを立方体の体積（√２＾３　＝　２√２）から引くと
残った部分、正四面体の体積となります。
２√２　－　４√２／３
３＊２√２／３　－　４√２／３
２√２／３

よって、Ａが答えとなります。

三角錐の体積の求め方と、
全体から引き算する（立方体から三角錐を削る）
という点に気が付くかどうかが
この問題のポイントのようです。

・・・とかいいながら、
答え、合っているのでしょうか。。。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/13 09:02

まず、正四角錐は正四面体の間違いですね。

正四面体Ｂ－ＤＥＧの体積は正六面体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの体積から三角錐（例えばＣ－ＢＤＧ）を４個切り取った残りになります。三角錐Ｃ－ＢＤＧの体積は底面をＢＣＧとすると、２辺が√２の直角二等辺三角形です。その面積は
√２×√２÷２＝１ｃｍ²、三角錐Ｃ－ＢＤＧの体積は１×√２÷３＝√２/3　同じ体積のこれが４つあるので４√２/3ｃｍ³
１辺√２の立方体の体積は√２×√２×√２＝２√２ｃｍ³
正四面体Ｂ－ＤＥＧの体積は＝２√２ー４√２/3＝（６√２ー４√２）÷３＝２√２/3ｃｍ³です。
よって選択肢Ａです。

No.2 回答者： アンニョン豆腐 回答日時： 2018/04/13 01:55

求める体積は、1辺の長さがaの正四面体の体積Vの公式

V=(√2 / 12) a^3
より
(√2/12)×2^3=8√2/12=2√2/3 c㎥
答: A

1辺の長さがaの正四面体の
高さの公式: (√6 / 3) a
体積の公式: (√2 / 12) a^3
は、覚えておいて損はありません！
高さ不明の正四面体はこれらで即答できます。
ふつうに計算するとかなり時間がかかりますが、一応、ど忘れしたときのために、ふつうに計算する手順も確認しておいてください。