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赤く線を引いた部分ですがこの答え、間違ってませんか?D≧0のとき実数解を持つのではないのですか?

「赤く線を引いた部分ですがこの答え、間違っ」の質問画像

A 回答 (7件)

no6 です もうひとことだけ


2次方程式:x²-2(a+4)x+8a²+2a=0 が実数解を持つのは確かにD≧0のときですが、
今回の対象は2次不等式:x²-2(a+4)x+8a²+2a>0 ですので、2次方程式の場合とは異なります。
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画像の赤線部分は正しいですよ!


y=x²-2(a+4)x+8a²+2a ・・・①’とすると、
D>0ならば①’がx軸と2点で交わるから 画像の青線のグラフ (y軸は省略)
D=0ならば①’がx軸と1点で接するから 緑線のグラフ
D<0ならば①’はx軸と交わらないから  赤線のグラフ 
となりますよね。
(y=)x²-2(a+4)x+8a²+2a>0を満たすxの範囲はグラフにおいてy>0の部分、
つまり曲線がx軸より上にある部分です。

言うまでもなく、不等式の解とは不等式を満たすxの値の事ですから①の解が全ての実数となる(言い換えればすべての実数xについて不等式①が成り立つ)ためには曲線がx軸に触れてはならないことになり、画像の赤で示されるようなグラフの場合のみOKです。
(青線ではx軸より下に来る部分のxが①を満たさず、緑線では頂点のx座標が①をみたさないので、これら2つの場合は①の解が全ての実数とはなりません。)
すなわち①の解が全ての実数となるのはD<0のときだけ という事になります。
「赤く線を引いた部分ですがこの答え、間違っ」の回答画像6
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>赤く線を引いた部分ですがこの答え、間違ってませんか?D≧0のとき実数解を持つのではないのですか?


・・・①以下赤線以下を含め全て間違っています。
・・・①の二次関数y=x²-2(a+4)x+8a²+2a>0に実数解はありません。これを満たすaの範囲が存在するだけです。
①を微分すると2x-2(a+4)、①は上に開いた放物線で最小値のx座標はx-(a+4)=0からx=(a+4)
その時のy座標は7a²-6a-16です。①が成り立つには7a²-6a-16>0です。
これを満たすaの範囲は a<-7/8、2<aになります。
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D≧0 は特定の実数解がある条件ですね。


つまり、グラフを書くと x 軸との交点を持つ。
f(x)>g(x) が有り得ると云う事になりますね。

D<0 は全ての実数 x について成り立つ。
つまり、グラフを書くと x 軸と交わる事が無い。
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x^2+……のグラフは、下向きの二次関数で、不等式の解が全ての実数ということは、


x軸より上、つまり、D<0
D=0は、重解
D>0は、異なる実数解!
だから、合っている!
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すべての実数においてf(x )<g(x)ということは、共有点を持たずに成り立つということ、すなわち実数解を持ってはいけないから、判別式はD<0で正しいとおもいます。

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2次方程式の解や判別式の意味をきちんと判っていないようです。



この問題で言えば、仮に判別式D≧0だとすると、2次方程式x²-2(a+4)x+8a²+2a=0が実数解を持ちます。

とすると、もしそれが重解であれば、x²-2(a+4)x+8a²+2a=0となる実数xが存在するということで、「すべての実数xについてx²-2(a+4)x+8a²+2a>0」は成立しません。
また、それが異なる2実数解であれば、y=x²-2(a+4)x+8a²+2aのグラフを描くと判りますが、x²-2(a+4)x+8a²+2a<0となるxが存在してしまって(2実数解の間の部分です)、「すべての実数xについてx²-2(a+4)x+8a²+2a>0」は成立しません。

つまり、「すべての実数xについてx²-2(a+4)x+8a²+2a>0」となるためには、2次方程式x²-2(a+4)x+8a²+2a=0が実数解を持ってしまっては困るのです。

だから、D<0でなければなりません。
(実数解を持たないから、x²-2(a+4)x+8a²+2a=0が成り立つことはなく、全ての実数についてx²-2(a+4)x+8a²+2a>0なのです)
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