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質量Mの箱の中で、質量mの球がvで動き壁で衝突して反発係数e(<1)で跳ね返る という問題がありました

演習書の解説に、
「運動量保存則の式はmv=mv1+MV1=mv2+MV2+...+mvn+MVn」と書かれていました。

v1は1回目の衝突での跳ね返り速度で、2,3...と続いていきます。

ここで疑問だったのが、跳ね返った場合v1とV1の向きは逆になるはずです。

右向きにvで飛んできた球が衝突したら跳ね返って左向きになり(-v1)、衝突された箱は右に動く(+V1)はずですよね?

演習書の解説の式は符号が違っていませんか?

質問者からの補足コメント

A 回答 (5件)

>右向きにvで飛んできた球が衝突したら跳ね返って左向きになり(-v1)、


>衝突された箱は右に動く(+V1)はずですよね?

全ての速度が右向きを正とすると
左向きは負で現すことができる。

つまりv 1は負。

この様に正の向きを揃えて考えるこは極普通ですよ。
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この回答へのお礼

v1は負だけど正で記述している ってことですか?笑

お礼日時:2018/04/18 02:08

>v1は負だけど正で記述している ってことですか?笑



繰り返すけど、vnは右向きを正として式を立てて、v1の値が負なら
v1は左向きの速度を表しています。
簡単で楽でしょ?

球がはね返るたびにvnの前に付く符号を変えても
煩わしいだけ。値の正負で向きを表した方がずっと楽。

ここ、わからんと先が無いので、しっかり
納得行くまで考えてみて下さい。
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あなた反発係数の定義を理解していますか?



簡単な例として、質量 M の箱が非常に巨大であって V1 = 0 とみなせる時、つまり箱が、動かない壁と同じであるとみなせる時、反発係数の定義から、どういう計算になりますか?
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v が正の数っていうのが、あなたの思い込みですよ。


v は正負の符号を含んだ数ですよ。
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この回答へのお礼

補足つけましたn

お礼日時:2018/04/17 22:34

>「運動量保存則の式はmv=mv1+MV1=mv2+MV2+...+mvn+MVn」と書かれていました。



mv = mv1+MV1 = mv2+MV2 = ... = mvi+MVi = ... = mvn+MVn
ですよね?

また、vi, Vi (i=1, 2, ・・・, n) は、当然ベクトルでしょう。太字か何かになっていませんか?
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この回答へのお礼

演習書です

お礼日時:2018/04/17 22:35

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Q力学 衝突と運動量保存則

水平で滑らかな床の上に質量mの箱が静止している。初め、箱の中には右側の内側に接するように質量mの直方体上の物体が静止している。このときの物体の左端と箱の左側の内壁との距離はLである。この状態から箱を打撃して瞬時的に箱に速度V0(>0)を与えた後の運動について調べる。ただし、速度は床に対する値で表すものとし、右向きを正とする。また、重力加速度の大きさをgとし、空気抵抗は無視できるとする。

(1)
まず、箱と物体の間に摩擦がなく、箱の内壁と物体の間のはね返り係数がe (0<e<1)の場合について考える。この場合、箱と物体は衝突を繰り返す。箱と物体の第n回目の衝突直後の箱の速度をVn,物体の速度をvnとすると、Vn,vn,V(n-1),v(n-1),eの間には、e=-(Vn-vn)/{V(n-1)-v(n-1)}の関係が成り立つことから、Vn,vn,V0,e,nの間には、Vn-vn=V0(-e)^nの関係が成り立つことがわかる。また運動量についての考察より、Vn,vn,V0の間には、Vn+vn=V0の関係が成り立つことがわかる。以上より、Vn,vnはそれぞれ、V0,e,nをもちいて、Vn={Vo+V0(-e)^n}/2,vn={V0-V0(-e)^n}/2と表される。このことから、十分に時間が経つと、箱と物体の速度は共にV0/2となることがわかる。また、箱に初速度V0を与えてから十分に時間が経つまでの間にの箱と物体からなる系の力学的エネルギーの変化量は -(mV0^2)/4である。

(2)
次に、箱の内壁と物体との衝突は弾性的(はね返り係数=1)であり、箱の内側の底面と物体の間に摩擦がある場合について考える。箱を打撃して、瞬時的に箱に速度V0を与えると、物体は箱に対して滑り始める。以下では、箱と物体の間の動摩擦係数をμとする。この場合でも、十分に時間が立つと箱の速度と物体の速度は等しくなる。箱に初速度を与えてから十分に時間が経つまでの間の、箱と物体からなる系の力学的エネルギーの変化量は -(mV0^2)/4である。

(2)では、十分に時間が立つと箱と物体の速度は等しくなるといっていますが、(1)のようにはね返り係数と運動量保存則から、Vn,vnを求めて、nを∞にとばしてもVn=vn=V0/2という結果は得られませんでした。以下が導出過程です。

はね返り係数1= - (Vn-vn)/{V(n-1)-v(n-1)}より、Vn-vn=-{V(n-1)-v(n-1)}だから、
Vn-vn=(-1){V(n-1)-v(n-1)}=(-1)^2{V(n-2)-v(n-2)}=・・・={(-1)^n}(V0-v0)=V0(-1)^n
よってVn-vn=V0(-1)^n
また、運動量保存則よりVn+vn=V0
∴ Vn={V0+V0(-1)^n}/2,vn={V0+V0(-1)^n}
∴ lim[n→∞]Vn=V0,0 lim[n→∞]vn=V0,0
(-1)^∞は、-1,1のどちらかなので、VnはV0または0、vnはV0または0になると思います。(-1)^∞が-1と1になりうる確率(?)が50%ずつだから、V0と0の真ん中をとってV0/2にしたということですか?

水平で滑らかな床の上に質量mの箱が静止している。初め、箱の中には右側の内側に接するように質量mの直方体上の物体が静止している。このときの物体の左端と箱の左側の内壁との距離はLである。この状態から箱を打撃して瞬時的に箱に速度V0(>0)を与えた後の運動について調べる。ただし、速度は床に対する値で表すものとし、右向きを正とする。また、重力加速度の大きさをgとし、空気抵抗は無視できるとする。

(1)
まず、箱と物体の間に摩擦がなく、箱の内壁と物体の間のはね返り係数がe (0<e<1)の場合について考え...続きを読む

Aベストアンサー

ANo.1,5,6です.タイプしながら計算しているので度々計算ミスが多くすいません.

(2)まず理想化された仮定から打撃で与えられた打撃で箱だけが速度V_0を得て全運動量がmV_0.最初の衝突までの間,箱と物体の速度V_1(t),V_2(t)について

mV_1(t)+mV_2(t)=mV_0 V_1(t)+V_2(t)=V_0

また箱と物体の運動方程式から,箱と物体の最初の位置を原点として打撃後の位置をそれぞれX_1(t),X_2(t)とすると,

mdV_1/dt=-μmg
∴V_1(t)=V_1(0)-μgt=V_0-μgt∴X_1(t)=V_0t-(1/2)μgt^2
mdV_2/dt=μmg
∴V_2(t)=μgt∴X_2(t)=(1/2)μgt^2

この式から箱は物体からの摩擦力より減速し,物体は箱からの摩擦力より加速することがわかります.もちろん,重心の速度V(t)は外力が働かないから

(m+m)dV/dt=(外力の和)=0∴V(t)=V(0)={mV_1(0)+mV_2(0)}/(2m)=V_0/2

で一定です.衝突が起こる前にV_1(t)=V_2(t)となると摩擦力は0になります.この時刻は

t_0=V_0/(2μg)

です.このとき物体は箱の先端から

X_1(t_0)-X_2(t_0)=V_0t_0-μgt_0^2=V_0^2/(2μg)-V_0^2/(4μg)=V_0^2/(4μg)

だけ進んでいます.これはL以下でなければならず,

V_0^2/(4μg)≦L, V_0≦2√(μgL)

つまり,初速がこの条件を満たせば弾性衝突は起こらず,箱と物体は同じ速度

V_1(t_0)=V_2(t_0)=μgt_0=V_0/2

で運動し続けます.運動エネルギーの減少は

{(1/2)m(V_0/2)^2+(1/2)m(V_0/2)^2}-(1/2)mV_0^2=-(1/4)mV_0^2

です.

もし,V_0>2√(μgL)なら弾性衝突が起こり,物体は箱の先端に向かいます.このとき,摩擦力は向きが反対になります.それぞれの速度は弾性衝突であることを利用すれば求められます.2回目の衝突が起こるかどうかの条件を結果だけ示すとと,

2√(μgL)<V_0≦2√(3μgL)

ポイントは弾性衝突(箱と物体は撃力を受ける)の前後で箱と物体の速度が階段状の変化をします.衝突回数が増えるほどV_0の値の条件は大きくなっていくでしょう.

つまり,初速V_0が大きければ大きいほど物体は何回か箱の中を往復して,相対速度が0になるところで摩擦力が消えるのでそこで物体と箱は一体となって動いていくでしょう.その速度は重心の速度でやはりV_0/2で,運動エネルギーの減少
も-(1/4)mV_0^2となります.これは摩擦力のした仕事で熱エネルギーとなったのでしょう.

(1)でも同じ運動エネルギーの減少が見られますが,これは跳ね返り係数0<e<1のため非弾性衝突が起こり,最終的には同じ重心運動に落ち着いたからです.これは非弾性衝突によって熱エネルギーになったのでしょう.

(1)(2)ともに箱と物体を合わせた力学系には外力が働いていないので同じ重心の運動をします.しかし,内部的には(1)は非弾性衝突,(2)は摩擦によるエネルギーの散逸がおこり,終状態は同じなので,運動エネルギー減少は同じになったわけです.一般に,内部構造を解析することは難しい場合が多いです.摩擦や非弾性衝突のミクロな機構はかなり難しいです.ただ,この問題は理想化されているので解析的にもきちんと解くことが可能です.

ANo.1,5,6です.タイプしながら計算しているので度々計算ミスが多くすいません.

(2)まず理想化された仮定から打撃で与えられた打撃で箱だけが速度V_0を得て全運動量がmV_0.最初の衝突までの間,箱と物体の速度V_1(t),V_2(t)について

mV_1(t)+mV_2(t)=mV_0 V_1(t)+V_2(t)=V_0

また箱と物体の運動方程式から,箱と物体の最初の位置を原点として打撃後の位置をそれぞれX_1(t),X_2(t)とすると,

mdV_1/dt=-μmg
∴V_1(t)=V_1(0)-μgt=V_0-μgt∴X_1(t)=V_0t-(1/2)μgt^2
mdV_2/dt=μmg
∴V_2(t)=μgt∴X_2(t)=(1/2)μgt^2

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Q反発係数

静止している質量MのQに質量mのPが速さv0で衝突した
その後のP、みたいなの速さvP、vQ(右向きを正)を求めよ
またPが跳ね返る条件を求めよ
反発係数をeとする



解き方を教えてください!
アホなので補足質問をしてしまうかもしれません
ご了承ください

Aベストアンサー

運動量保存則から
m * v0 = m * vP + M * vQ …【1】

反発係数は (衝突後の遠ざかる速さ)÷(衝突前の近づく速さ)
e = (vQ - vP) / v0  …【2】

【1】、【2】を解けばOKです。
(一応書いておくと、
【2】より vQ = e * v0 + vP となるから【1】に代入)

Pが跳ね返る条件は、衝突後左向きに移動するから
vP < 0
これに先ほど求めたvPの式を入れて解けばいいです。

これでよろしいでしょうか?

Q速度ポテンシャルと流れ関数

二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

u=2xy
v=x^2-y^2+1

であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

Aベストアンサー

W(z)=φ+iψ とおくと、

dW/dz = u-iv
   = 2xy-i(x^2-y^2+1)
   = -i(z^2+1)

より、両辺をzで積分して

W(z) = ∫(-i(z^2+1))dz
   = -i(z^3/3 + z) + const.
   = -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
   = x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)

よって

φ = x^2y-y^3/3+y+C0
ψ = xy^2-x^3/3-x+C1

となります。

Q壁にぶつかった時の力

質量1kgの物体が1m/秒で壁にぶつかった時、壁に掛かる力はどれくらいでしょうか。
壁は壊れたりしない前提とします。
すみませんが、考え方を教えて下さい。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

おはようございます。
pentanpeさんの質問文では答えを求める条件が足りません。物体は壁にぶつかった後ボールのように跳ね返るのか、少しだけ跳ね返るのか、跳ね返らないで垂直に落下するのか、もしくは壁にくっつくのか、それぞれの状況で壁に加わる力は違います。

運動量と力積を使って運動量保存の法則から求めることが出来ます。
質量1[kg]の物体が速さ1[m/s]で壁にぶつかって、速さv[m/s]で跳ね返ったとします。跳ね返らなかった場合はv=0[m/s]です。物体と壁が接触していた時間をt[s](とても短い時間)として、壁に加わった力の大きさの平均をf[N]とします。すると
1[kg]×1[m/s]-f[N]×t[s]=-1[kg]×v[m/s]
が成立します。したがって
f=(1+v)/t[N]
で求まります。
仮に、物体が0.5[m/s]で跳ね返ってtを0.1[s]と見積もるなら、f=15[N]、ただしこれは平均の力の大きさなので瞬間的には約2倍の30[N]ぐらいの力が加わっていたと予想できます。これは質量3[kg]の物体が静止しているときの重力とほぼ同じです。
参考になりますでしょうか。

おはようございます。
pentanpeさんの質問文では答えを求める条件が足りません。物体は壁にぶつかった後ボールのように跳ね返るのか、少しだけ跳ね返るのか、跳ね返らないで垂直に落下するのか、もしくは壁にくっつくのか、それぞれの状況で壁に加わる力は違います。

運動量と力積を使って運動量保存の法則から求めることが出来ます。
質量1[kg]の物体が速さ1[m/s]で壁にぶつかって、速さv[m/s]で跳ね返ったとします。跳ね返らなかった場合はv=0[m/s]です。物体と壁が接触していた時間をt[s](とても短...続きを読む

Q高校物理 二体問題について

こんにちは。高校生で大学受験のための勉強をしているものです。
早速ですが、物理について質問です。
二体問題は重心から見ると解きやすいと教えられてそのように勉強してきました。
「二物体の衝突は重心から見ると、質量の逆比逆向きの速度で向かってきて、衝突後また質量の逆比逆向きの速度ではなれていくという現象だ。…*」といった風に習いました。

先日、東京工業大学の過去問をといたのですがわからないところがありました。
2010年度の前期試験物理の大問1の(d)です。
http://www.riruraru.com/cfv21/phys/tip10f1.htm
(参考までにURLのせておきます。)
ここで、小球と物体Bが衝突するのですが僕は

「(V0-ブイゼロ-はパソコンでの書き方がわからないのでvと書かせていただきます。)
x方向に外力が働かないから重心速度一定だな。(運動量保存)
*より、重心から見た小球の衝突直前の速度はMv/√(2)(m+M)
物体Bの速度は-mv/√(2)(m+M)
衝突後はそれぞれ大きさ同じで向きが逆になるのだろうな」
と考えました。
だから、
「重心速度はmv/√(2)(m+M)だから衝突後の速度は、
小球 (m-M)v/√(2)(m+M)
物体B √(2)mv/(m+M)」
だと思いました。

そしたら正解は違っていて
小球 √(2)(m-2M)v/2(m+2M)
物体B 2√(2)mv/(m+2M)
となっていました。


解答は運動エネルギー保存則と運動量保存則の式を連立させて導いていて納得できたのですが、
しかし、自分の方法ではなぜ正解にたどり着けないのかがわかりません。

運動量保存則を模範解答も使っているので重心速度は絶対に一定のはずです。
重心からみれば、二物体は質量逆比逆向きの速度で~というものには成立条件のようなものがあるのでしょうか?
ここが一番お聞きしたいです。


繰り返しになりますが、模範解答がなぜ正しいかではなくて*がなぜ成立しないのかをお聞きしたいです。
長文見にくいなか、ここまで読んでくださったみなさまありがとうございました。
回答よろしくおねがいします。

こんにちは。高校生で大学受験のための勉強をしているものです。
早速ですが、物理について質問です。
二体問題は重心から見ると解きやすいと教えられてそのように勉強してきました。
「二物体の衝突は重心から見ると、質量の逆比逆向きの速度で向かってきて、衝突後また質量の逆比逆向きの速度ではなれていくという現象だ。…*」といった風に習いました。

先日、東京工業大学の過去問をといたのですがわからないところがありました。
2010年度の前期試験物理の大問1の(d)です。
http://www.riruraru.com/cfv2...続きを読む

Aベストアンサー

#3、#4です。
返事が頂けないのが気になります。

#3で衝突後の小球の運動方向が斜め45°の方向であるとすると
「T=T’」、
「衝突直後の小球の速度の水平成分の大きさは衝突直前の小球の速度の水平成分の大きさの半分である」
というのは放物運動の問題としてm、Mに無関係に出てくることだ
と書きました。
点Pから速さvoで面に垂直な方向に投げ出した物体が同じ高さの点Qに落下するまでの時間がTだったとする。
点Pから速さvで面に垂直な方向に投げ出した物体が点Oに落下した。落下に要する時間をT’とする。T’/T、v/voを求めよ。
という問題と同じですね。

2体衝突が続けて起こるとして考えると面に垂直な方向(=斜め上方45°の方向)に跳ね返るというのは決まってしまいます。3体の衝突の問題は解くことができませんのでこのような取り扱いは3体が絡む衝突では標準的なものであると考えていいでしょう。したがって出題者もこういう方法でしか解けないということは承知しているはずです。

元の問題が
>(d) 小球が物体Bと衝突した直後の、小球の速度のx成分vと、物体Bの速度Vを、m,Mおよびを用いて表せ。
>(e) 小球が点Pから点Qまで運動するのに要する時間をTとするとき、小球が点Qに衝突してから原点Oに落下するまでに要する時間をTを用いて表せ。

となっているのはv/voがm、Mに関係した表現になる、衝突の問題を解かないとv/voは決まらないとしていることになりますので問題の設定自体がおかしいということになります。この表現が必要なのはM/mを決定する時です。v/voを求める時ではありません。測定値が一切出てこない問題で有効数字2ケタの解を要求するという首をかしげたくなるような問いも出てきていますから出題者のレベルに信頼できないものを感じます。
東工大は以前にも「重力の加速度の値を9.800m/s^2として有効数字4桁の答えを要求する」ような変な問題を出していたこともありますので私としては「またか!」という気持ちになっています。

解答はこの問題設定の混乱に足元をすくわれてしまっています。
v=vo/2が得られていませんのでどこかがおかしいのです。
おかしいのは(5)の反発係数の式です。
面に垂直な方向の台の速度をV/√2としています。ここがV√2であればv=vo/2が出てくるのです。小球と台の衝突、台と床の衝突と順番に考えていくのであれば小球からもらった運動量はMVよりも大きいはずです。床と平行な成分だけしか残らないというのは台と床との衝突の後の話です。

v=vo/2となるという条件で解いていくとM/m=3になります。これを3.0としなければいけないなんていうのはばかげています。

#3、#4です。
返事が頂けないのが気になります。

#3で衝突後の小球の運動方向が斜め45°の方向であるとすると
「T=T’」、
「衝突直後の小球の速度の水平成分の大きさは衝突直前の小球の速度の水平成分の大きさの半分である」
というのは放物運動の問題としてm、Mに無関係に出てくることだ
と書きました。
点Pから速さvoで面に垂直な方向に投げ出した物体が同じ高さの点Qに落下するまでの時間がTだったとする。
点Pから速さvで面に垂直な方向に投げ出した物体が点Oに落下した。落下に要する時...続きを読む


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