1 平均値の定理を用いて、「ある連続区間で定義された微分可能関数f(x)について、その区間上のすべての点における微分係数が0ならば、関数f(x)は定値関数である」を証明せよ
2 f'(x)=ex(eのx乗)であることを知っているとして、(log x)'を求めよ(理由も答えなさい)

以上の2問が、いまいちよく分からなくて困っています。どなたか数学に長けている方、お答え願えませんでしょうか。どちらか1問だけでも構いません。よろしくお願いいたします。

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A 回答 (3件)

寝起きの頭の体操。

寝ぼけた頭をたたき起こすにはこれが一番良いんですよね。

(1)
平均値の定理と言うのは、
『f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続、開区間(a,b)において微分可能とすると
    f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)
を満たすξが(a,b)の中に存在する。』
と言うものでしたよね?

そうすると任意のI⊃I'=[x1,x2]においてもf(x)はこの区間で連続、(x1,x2)で微分可能なのでやはり
    f(x2)-f(x1) = f'(η)(x2-x1)
を満たすηが(x1,x2)に存在します。

仮定よりI=(a,b)の中にある全てのξでf'(ξ)=0なので、
この区間に含まれるI'=(x1,x2)の中にある全てのηでf'(η)=0、即ちf(x2)-f(x1)=0
これが任意のI⊃I'=[x1,x2]について成り立つので、a≦x1≦x2≦bを満たす任意のx1,x2について
f(x1) = f(x2)
これはf(x)が区間I=[a,b]において定数関数である事を示す。

(2)
『f(x)がx0で微分可能とし、f'(x0)≠0 とする。f(x) が x0 の近傍でも連続で強い意味の単調関数とする時
y0 = f(x0) とすると逆関数 {f^(-1)}' も y0 で微分可能で、
    {f^(-1)}'(y0) = 1/f'(x0)』
という事が言えます。
(証明)
    f(x) = f(x0) + α(x)(x - x0)    (α(x)は x0 で連続)
とおくと x0 の近傍で α(x) = f'(x)である。
上の式に x = {f^(-1)}'(y), x0 = {f^(-1)}'(y0) を代入すると
    f・{f^(-1)}(y) = f・{f^(-1)}'(y0) + α{f^(-1)}(y) [{f^(-1)}(y) - {f^(-1)}(y0)]
f・{f^(-1)}(y) = y だから
    y = y0 + α{f^(-1)}(y) [{f^(-1)}(y) - {f^(-1)}(y0)]
    {f^(-1)}(y) = {f^(-1)}(y0) + [1/{αf^(-1)}] (y - y0)
{f^(-1)}(y)は y0 で連続で α(x0) = f'(x0) ≠ 0 だから 1/α{f^(-1)}(y) は y0 で連続、
したがって{f^(-1)}(y)は y0 で微分可能で
    {f^(-1)}(y0) = 1/{αf^(-1)}(y0) = 1/f'(x0)    (証明終)

x0,y0 を x,y に広げると
    {f^(-1)}'(y) = 1/f'(x)
これを使います。
y = f(x) = e^x とすると {f^(-1)}(y) = log y, f'(x) = e^x = y
よって
    (log y)' = 1/y
y を x に書きなおして
    (log x)' = 1/x
です。

理解できなかったらまず微分可能の定義
    f(x) = f(x0) + α(x - x0) + g(x)
    lim{x→x0} g(x)/(x - x0) = 0
および次の性質
『f(x) が x0 で微分可能であるための必要十分条件は、x0の近傍で定義され、x0 で連続な関数 α(x)があって、
x0 の近傍で
    f(x) = f(x0) + α(x)(x - x0)
と表される事である。この時 f'(x0) = α(x0) である。』
(証明)
α(x) = {f(x) - f(x0)}/(x - x0) (x≠0), α(x0) = f'(x0)
と定義するとlim{x→x0} α(x) = α(x0), かつ f(x) = f(x0) + α(x)(x - x0)
逆に、f(x) = f(x0) + α(x)(x - x0) = f(x0) + α(x0)(x - x0) + {(α(x) - α(x0)}(x - x0)
そこで g(x) = {(α(x) - α(x0)}(x - x0) とおくと
    lim{x→x0} g(x)/(x - x0) = lim{x→x0} {α(x) - α(x0)} = 0    (証明終)
を参考にしてください。
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この回答へのお礼

早々のご回答ありがとうございました。ここまで詳細に回答していただけるとは・・・(^^)。参考にさせていただきます。

お礼日時:2001/07/15 12:32

2のヒントだけ。



e^x の微分は分かりますよね。f''(x)です。
ここで、逆関数微分の公式をあてはめれば
いいのです。
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この回答へのお礼

早々のご回答ありがとうございました。そうですね。逆関数微分の公式に適用すればいいんですよね。参考になりました。

お礼日時:2001/07/15 12:28

#学部4年でしかも専門が代数だと、「経験者」じゃなくて


#「一般人」になってしまうのかもしれない・・・。

(1) 平均値の定理を使えと書いてあるのがポイント。
微分可能な関数f(x)は[a,b]で定義されていて、その
区間で連続であるものとします。
a≦s<t≦b となるような任意のs,t (実数)に対して、
平均値の定理から、

(f(t)-f(s))/(t-s) = f’(c)

・・・となるようなcがs<c<tの間になるものが存在する
はずですが、f’(c)は「すべての点における微係数が0」
・・・ですから、それは0のはずです。

すると、f(t)=f(s)となりますが、t,sは
a≦s<t≦b の条件下で取ることができますから、
f(x)は定数関数です。

# ・・・でいいのかなぁ。
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この回答へのお礼

早々のご回答ありがとうございました。これを参考に何とかやってみたいと思います。

お礼日時:2001/07/15 12:26

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f^n(x)=a_n+Σ_{k=1~∞}(a_{n+k})(x^k)/(k!)
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Q関数f(x1,x2,x3,x4,x5)が最大値となるようなx1,x2,x3,x4,x5の求め方

変数を5つもつ関数f(x1,x2,x3,x4,x5)があります。
関数f(x1,x2,x3,x4,x5)は、一言では言い表せないような複雑な式とします。

y=f(x1,x2,x3,x4,x5)としたとき、
yが最大になるようなx1,x2,x3,x4,x5はどのようにして求めればよいでしょうか?

例えば、、、

(1) x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し、x1を変化させてyが最大となるようなx1を求める。(このときのx1をaとする)

(2) x1をaに、x3,x4,x5を適当な値に固定し、x2を変化させてyが最大となるようなx2を求める。(このときのx2をbとする)

(3) x1をaに、x2をbに、x4,x5を適当な値に固定し、x3を変化させてyが最大となるようなx3を求める。(このときのx3をcとする)

(4) x1をaに、x2をbに、x3をcに、x5を適当な値に固定し、x4を変化させてyが最大となるようなx4を求める。(このときのx4をdとする)

(5) x1をaに、x2をbに、x3をcに、x4をdに固定し、x5を変化させてyが最大となるようなx5を求める。(このときのx5をeとする)

このとき、f(a,b,c,d,e)は最大値??
多分、違いますよね。

変数を5つもつ関数f(x1,x2,x3,x4,x5)があります。
関数f(x1,x2,x3,x4,x5)は、一言では言い表せないような複雑な式とします。

y=f(x1,x2,x3,x4,x5)としたとき、
yが最大になるようなx1,x2,x3,x4,x5はどのようにして求めればよいでしょうか?

例えば、、、

(1) x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し、x1を変化させてyが最大となるようなx1を求める。(このときのx1をaとする)

(2) x1をaに、x3,x4,x5を適当な値に固定し、x2を変化させてyが最大となるようなx2を求める。(このときのx2をbとする)

(3) x1...続きを読む

Aベストアンサー

まず最初に、この「一言では言い表せないような複雑な」関数が「連続」である必要があります。不連続の場合は初期値(「x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し」に相当)から最大値に至る探索の道筋の手がかりがなにも無い事になってしまいますから。

次に、この方法で最大値が求まるためは、2次元で考えたとして山の頂上(y の最大値に相当)がパラメータx1,x2,x3,x4,x5の値域内でひとつだけである必要があります。山で例えると富士山(頂上の火口付近のくぼみは無視して)のような山です。そうでない場合、つまり、例えば八ヶ岳のように複数の頂上があった場合、見つかった値は最大値とは限りません。つまり八ヶ岳のひとつの頂上が見つかっただかで、これが八ヶ岳で一番高い頂上かどうかは分からないということです。こうして見つかった y の値を「局所最大値」と呼びます。確実に(局所でない大局的な)最大値を見つける方法は見つかっていません。

質問者さんの方法でも(局所)最大値は見つかりますが、多くの場合、x1~x5 をそれぞれ少しだけ値を振って(Δx)、その時の y の変化が大きい方に、より動いていく、というやり方をします。例えて言えば、山登りで霧がたち込めていて頂上が見えない場合、足下の周辺の地面だけを見て、最も傾斜が急な方向に次の一歩を踏み出す(次の x1~x5 を決める)わけです。この方法は No.1 さんのおっしゃるように「山登り法」と呼ばれており、質問者さんの方法より速く(少ない歩数で)(局所)最大値に達することができます。

歩幅の大きさにも注意が必要です。頂上や山の大きさに関係するのですが、多くの場合「一言では言い表せないような複雑な」訳で、山の大きさすら分かりません。一歩の大きさを大きくすればそれだけ速く頂上に到達できますが、頂上の正確な位置がでませんし、山よりも大きな歩幅ですと山を飛び越えてしまいますので、「十分に」小さな値にします。計算を速くするために、最初の歩幅は大きく、段々歩幅を小さくするというやり方もあります。

より詳しくは「山登り法」で検索されるといろいろと見つかると思います。

まず最初に、この「一言では言い表せないような複雑な」関数が「連続」である必要があります。不連続の場合は初期値(「x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し」に相当)から最大値に至る探索の道筋の手がかりがなにも無い事になってしまいますから。

次に、この方法で最大値が求まるためは、2次元で考えたとして山の頂上(y の最大値に相当)がパラメータx1,x2,x3,x4,x5の値域内でひとつだけである必要があります。山で例えると富士山(頂上の火口付近のくぼみは無視して)のような山です。そうでない場合、つまり、...続きを読む


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