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次の条件を満たす実数kの値の範囲を求めよ。
(1)全ての実数xに対して不等式
kx²-kx+2>0 が成り立つ。
(2)ある実数xに対して不等式
x²-2x+9<kxが成り立つ。

この問題を教えてください!

質問者からの補足コメント

  • ( 2 )だけで大丈夫です!

      補足日時:2018/04/22 07:16
gooドクター

A 回答 (2件)

(1)y=kx²-kx+2と置いて 微分すると y’=2kx-k=0より x=1/2 この時 y=-k/4+2(頂点のy座標)


y=kx²-kx+2>0が常に成り立つには(上に開いた放物線)k>0かつ-k/4+2>0 よって0<k<8
(2)x²-2x+9<kx → x²-(2+k)x+9<0 y=x²-(2+k)x+9と置いて 微分すると y’=2x-(2+k)=0より
   x=1+k/2  この時 y=(2+k)²/4ー(2+k)²/2+9=-(2+k)²/4+9
   y=x²-(2+k)x+9<0がある範囲で成り立つには(上に開いた放物線なので)頂点のy座標は-(2+k)²/4+9<0 
   (2+k)²>36
       -6<2+k<6 → -8<k<4
となります。
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こういうのは、微分とか考えなくても、単純な機械的計算で解ける。



(2)
xの2次不等式x²-(k+2)x+9<0が解を持てばよい。
それは、xの2次方程式x²-(k+2)x+9=0が2つの異なる実数解を持てば良いので、
判別式=(k+2)²-4・1・9=k²+4k-32>0
(k+8)(k-4)>0
∴-8<k<4
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