逆三角関数の証明がわかりません

arccosx+arcsin√1-x^2=π　　（ー1≦x≦0）
この問題がわかりません。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/24 16:48

No.2 です。

スミマセン、きちんと定義域を書いていませんでしたね。訂正版です。
与式は
　　arccos(x) + arcsin[ √(1 - x^2) ] = パイ
と考えます。

まずは、関数の単射が確保されるように定義域を 0≦A≦パイ、-パイ/2 ≦B≦パイ/2 として
　A = arccos(x)　　　　　　　　　①
　B = arcsin[ √(1 - x^2) ]　　　　②
とおくと、
　-1 ≦ x ≦ 0 より パイ/2 ≦ A ≦ パイ　　　　　③
　0 ≦ √(1 - x^2) ≦ 1 より 0 ≦ B ≦ パイ/2　　④
となる。

この範囲で
　cos(A) = x　　　　　　　⑤
　sin(B) = √(1 - x^2)　　　⑥

上記の定義域の範囲では
　sin(B) = √(1 - x^2) = √[1 - cos^2(A)]
　　　= sin(A)　
となる。

パイ/2 ≦ A ≦ パイ、0 ≦ B ≦ パイ/2
の範囲で
　sin(A) = sin(B)
が成立するのは
　A = パイ - B
または
　A = B = パイ/2
のとき。

よって、両者を合わせて
　A + B = パイ
が成立する。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/23 14:48

ダウト＞#2.

本当に
√[ 1 - cos^2(A) ] = sin(A)
は恒等的に成り立ちますか? 例えば A=-π/2 でも成り立つと主張しますか?

そもそも arccos や arcsin がどのように定義されているかわからないのに話が進むわけがない.

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/23 11:35

まずは、式を正しく書いてください。

　arccos(x) + arcsin[ √(1 - x^2) ] = パイ

でよろしいですか？

まずは、
　A = arccos(x)
　B = arcsin[ √(1 - x^2) ]
とおけば、与式は
　A + B = パイ　　　　①
　x = cos(A)　　　　　②
　√(1 - x^2) = sin(B)　　③
ということですが、これはよろしいですか？
　
①より
　B = パイ - A　　　　④
ですから、
　sin(B) = sin(パイ - A) = sin(A)
なので、③は
　√(1 - x^2) = sin(A)　　⑤
となります。

②を代入すれば
　√[ 1 - cos^2(A) ] = sin(A)

これは恒等的に成立します。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/23 02:31

どこまでできていてどこで困っているのですか?