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指数法則について、
a>0,nが奇数のとき、n√-a(-aのn乗根)=-n√a(aの-n乗根)
が成り立つことを証明してください。

質問者からの補足コメント

  • 訂正
    正しくは
    a>0,nが奇数のとき、n√-a(-aのn乗根)=-n√a(aのn乗根*-1)
    です

      補足日時:2018/04/24 20:18

A 回答 (3件)

指数法則について、


a>0,nが奇数のとき、n√-a(-aのn乗根)=-n√a(aのn乗根*-1)_①
が成り立つことを証明してください。
①の両辺をn乗すると
左辺= -a
右辺=(-)のn乗✕ a=- a (nが奇数のとき)
で、左辺=右辺が成立して
-a=-a_②
①の左辺は②のn乗根の定義で、n乗すると②となるものをいう。
①の右辺をn乗した結果③は②となるから、この定義に合致するので①は成立する。
しかし、もっと突っ込んだ議論の例として、nが偶数2のとき、3の平方根は
√3=-√3_③不成立
③の両辺を2乗すると、④になる。
3=(-√3)^2=3_④
③→④が成立するからと言って、④→③が成立するとは言えない。
同じ論法で、①→②が成立するからと言って、②→①が成立するとは言えない。
「nが奇数のとき、a≧0でもa<0でも、aのn乗根のうち実数のものは一つあり、かつ一つしかない。」ということを確認しなければならない。n乗根のうち実数のものは一つしかない、ので
④→③が成立する。
参考:
数を実数の範囲に限らず、複素数(虚数を含む数)の範囲まで広げると、aのn乗根は常にn個あります。
n次方程式の根は、複素数の範囲では、常にn個あります。(2重根は2個と数える。)
これを代数学の基本定理といい、200年前頃、証明された。
そこで方程式⑤の根をaのn乗根というが、それはn個ある。
x^n=a_⑤
そのうち、実数でプラスまたは0のものを、記号n√a(記号は図を見て下さい)で表すキマリになっている。
あなたの質問文の①の右辺の記号n√aは、このキマリを使っているから、このキマリの意味を説明しないと、本当に証明したことにならない。
1の平方根は±1はよく知っているでしょうが、
1の3乗根は1、(-1±i√3)/2の3個
1の4乗根は±1、±iの4個
1の6乗根は±1、(±1±i√3)/2の6個
これらの根は複素平面上でそれぞれ正三角形、正方形、正六角形の頂点になっています。
「指数法則について、 a>0,nが奇数のと」の回答画像3
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n√(ab) = (n√a)( n√b )  ---- (1)


(-1)^n = -1 (nが奇数)  ---- (2)

を認めるのであれば、これらから導かれるのでは?
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a>0, n=2p-1(p:自然数)とすると、



n√-a (-aのn乗根)
=-a^(1/(2p-1))
=(-1)^(1/(2p-1)) * a^(1/(2p-1))…(i)

-1の(2p-1)乗根をxとすると
x^(2p-1)=-1
x^(2p-1) + 1 = 0
(x+1)(x^(2p-2) - x^(2p-3) … - x + 1)=0

x^(2p-2) - x^(2p-3) … - x + 1=0は偶数次方程式で、かつ実数解が存在しない。
よって、実数解はx+1=0より、x=-1

このことから、-1の(2p-1)乗根は
(-1)^(1/(2p-1))=-1…(ii)
となる。

よって、(ii)を(i)に代入すると、

(-1)*a^(1/(2p-1))
=(-1)*a^(1/n)
=(-1)*n√a (aのn乗根*(-1))
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