積分の不等式の問題です。 写真のような問題なのですがそれぞれについて証明する必要があります。 積分し

積分の不等式の問題です。
写真のような問題なのですがそれぞれについて証明する必要があります。

積分してみたり、Σを展開してみたのですがよくわかりませんでした。

数学できる方お願いします。

また、閉区間をずらすと不等号の向きが逆になるのですが一体どんな関数なのでしょうか？

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2018/04/30 16:37

> 一体どんな関数

　どうやら、或るひとつの謎の関数f(x)の話だと思ってらっしゃるようだが、そうじゃない。
　これは「連続で単調減少であるような任意のf(x)について、以下をそれぞれ証明せよ」って問題なんですよ。言い換えれば、f(x)が（「連続で単調減少」でありさえすれば）どんな関数であろうとも成り立つような定理を、ふたつ証明する話なんです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/26 15:07

条件として m<n が書いてあるけど実際には m≦n で証明できる (和は f(m) と解釈する). そして m=n のとき (つまり積分範囲の長さが 1) にこの不等式が成り立つことを示せば十分. このときの状況を適当に図にしてみれば一目瞭然のはず.

あと「一体どんな関数なのでしょうか」とあるけど, この絵にあるように「連続で単調減少な関数」ですよ.