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定積分は全て面積を表すんですか?

A 回答 (9件)

違います。


定積分の意味が体積を表す場合もあるでしょ?

例えば,
球の体積を求めるには,球の表面積を 半径に関して「定積分」(の計算を)すればよい。
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なぜ面積にこだわっているのか、かつ、計算結果の正負にこだわっているのか全然判りませんが、


そもそも積分や定積分というものをこの回答欄の中だけできちんと説明することは不可能。

自分で勉強して下さい。

→この本が平易で初心者向けなのでおすすめ→「解析入門Ⅰ」(杉浦光夫著 東京大学出版会)
この本の「第Ⅳ章 積分法」を読めば判ります。
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この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます。
しかし買うつもりはないです…
何故こだわるのかというと、高校で定積分と面積の関係は教えてもらったが定積分の計算をしていて時々負の値を見かけていたのにその時疑問を持ちかつ先生からの説明がなかったからです。
ただの疑問だったのでここでわからないのなら割り切って考えるのをやめます。

お礼日時:2018/04/28 22:47

違います。

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この回答へのお礼

定積分という集合の中にただその一部が面積を表し、負の数が現れるのはただ不定積分を区間をつけて計算した値ということですか?

お礼日時:2018/04/28 13:36

後付けというのはどういう意味でしょう?


積分計算が出現した経緯・数学史的な意味ですか?
それは私には分かりません。
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この回答へのお礼

そうですか…

お礼日時:2018/04/28 13:34

>そうなんです!その時は別にただの計算なんですか?



ただの計算とはどういう意味でしょう?
定積分がただの計算(単なる計算アルゴリズムなので、機械的に実行でき、その意味付けは人が外から与える必要がある)なのは、
別に定積分の結果の符号にはよりませんが。
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この回答へのお礼

というとやはり後付けで面積と組み合わせたのですか?

お礼日時:2018/04/28 08:48

一般には、そうとは限りません。


面積というのは、0以上の値となりますが、
∫[0,1](-1)dx = −1 < 0
となって、負の値をとる定積分も存在します。
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この回答へのお礼

そうなんです!その時は別にただの計算なんですか?

お礼日時:2018/04/28 07:28

積分とはある意味次元の数を一つ増やす操作です。


点は線分に(ゼロ次元→1次元)。
線分は面に(1次元→2次元)。
面は空間・立体に(2次元→3次元)。
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体積もあるよ!

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関数y=f(x)を、xyの2次元平面で表す(仮定する)から、面積と表現されるだけです。


積分対象は多様です。
例えば、電力[W]の時間変化を時間で積分すれば[Wh]と言うエネルギーになります。
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