ある大学院の過去問なんですが、小問が3つあるんですが、まず1つ目について教えてください。

『次のような u(x, t) に関する偏微分方程式を考える。
    ∂u/∂t + u ∂u/∂x = ν ∂^2 u/∂x^2    (*)
ここで、νは正の定数である。この時以下の問いに答えよ。

(1) (*)式に ψ(x, t) と φ(x, t) を用いた2段階の変換
    i. u = ∂ψ/∂x
    ii. ψ = αlogφ
を行ない、定数αを適当に選ぶと φ(x, t) に関する線型方程式
    ∂φ/∂t = ν ∂^2 φ/∂x^2    (**)
が得られることを示せ。また、そのときのαを求めよ。』

と言う問題です。

変換i. ii. を行なってφの偏微分方程式には出来るのですが(合ってるかどうかは別問題)
αをどう取っても(**)になりそうにないんです。(ってことは合ってないって事?)

やったのは
    u = ∂ψ/∂x = (∂/∂x)(αlogφ) = (α/φ)(∂φ/∂x)
    ∂u/∂t = (∂/∂t){(α/φ)(∂φ/∂x)} = -(α/φ^2)(∂φ/∂t)(∂φ/∂x) + (α/φ)(∂^2 φ/∂t∂x)
    ∂u/∂x = (∂/∂x){(α/φ)(∂φ/∂x)} = -(α/φ^2)(∂φ/∂x)^2 + (α/φ)(∂^2 φ/∂x^2)
    u(∂u/∂x) = (α/φ)(∂φ/∂x){-(α/φ^2)(∂φ/∂x)^2 + (α/φ)(∂^2 φ/∂x^2)}
        = -(α^2/φ^3)(∂φ/∂x)^3 + (α/φ)^2(∂φ/∂x)(∂^2φ/∂x^2)
    ∂^2u/∂x^2 = (∂/∂x){(α/φ)(∂φ/∂x)} = -(2α/φ^2)(∂φ/∂x)^2 + (α/φ)(∂^2φ/∂x^2)
までなんですが、これを(*)に代入するとすごい事になってとても(**)にたどり着けそうにないんです。

ここまでで既に間違ってるんでしょうか?それともこの状態でαを適当に選べば(**)が導けるんでしょうか?

よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

とりあえずできるところまでで、計算してみました。


偏微分の記号を(1)のように表現させていただきます。
(∂/∂t)=(Dt)
(∂/∂x)=(Dx)  (1)

問題の偏微分方程式は、

[Dt+u*Dx-ν*(Dx*Dx)]u=0 (2)

(2)式に、問題のヒントとして与えられている、変換式(3)を代入します。

u=(Dx)ψ (3)

すると(2)式は
(Dt)*(Dx)ψ+[(Dx)ψ][(Dx*Dx)ψ]-ν*(Dx)*(Dx)*(Dx)ψ=0

上式を整理すると

Dx*((Dt)ψ+0.5*[(Dx)ψ]^2-ν*(Dx*Dx)ψ)=0 (4)

(4)式を解くと
(Dt)ψ+0.5*[(Dx)ψ]^2-ν*(Dx*Dx)ψ=g(t) (5)

ここで、g(t)はtの任意の関数(当然0という定数でもよい)。
(5)式に変換式(6)を代入します。

ψ=α*log(φ) (6)

ここから先の計算ははしょりますと

α=2*νとすると、

(Dt)φ=ν*(Dx)*(Dx)φ+g(t) (7)

という式が導出できます。
問題では、g(t)=0の特別な場合になっているようです。

誤記、誤解があったらゴメンなさい。
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(6)より


(Dt)Ψ = (α/Φ)(Dt)Φ               (イ
(Dx)Ψ = (α/Φ)(Dx)Φ                (ロ
(Dx)*(Dx)Ψ = -(α/Φ^2)(Dx)Φ + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ  (ハ
と計算をされていますが、(ハの計算が異なるように思われます。
(Dx)Ψ = (α/Φ)(Dx)Φ  
をさらにxで偏微分すると、
(Dx)*(Dx)Ψ=[(Dx)(α/Φ)](Dx)Φ+(α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ
となり、
-(α/Φ^2)[(Dx)Φ][(Dx)Φ] + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ  
となります。たぶんこれでうまくいくのでは?
ゴメンナサイ。
あとα=2*νではなくα=-2*νの誤記です。
            
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この回答へのお礼

(Dx)*(Dx)Ψ = -(α/Φ^2)(Dx)Φ + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ  (ハ

(Dx)*(Dx)Ψ = -(α/Φ^2){(Dx)Φ}^2 + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ  (ハ '
の間違い、つまり
(fg)' = f'g + fg'
とすべき所を
(fg)' = f' + fg'
としてたという事ですね。

とても丁寧な解説、ありがとうございました。
今後ともよろしくお願いします。

お礼日時:2001/07/17 13:13

No1でアドバイスさせていただきましたblue_monkeyです。


taropoo氏の質問を読み直すと、質問に対する直接的なアドバイス
になっていないようです。
blue_monkeyも、始めにtaropoo氏のされたような方法で試みようとしたのですが、見通しが悪く、すごいことになりそうだと思いまして、少しやり方を変えてしまいました。このため、taropoo氏の質問からはずれてしまったような気がします。
とりあえず、問題を解く手がかりとしていただければ幸いです。

この回答への補足

いえいえとんでもないです。
(4)への変形は目が覚める思いでした。これってさらっと積分してるんですよね?
同じく(5)も任意関数が出てくる所も納得です。
問題は(5)から(7)への変形なんですがどうもうまく行きません。

(6)より
(Dt)Ψ = (α/Φ)(Dt)Φ
(Dx)Ψ = (α/Φ)(Dx)Φ
(Dx)*(Dx)Ψ = -(α/Φ^2)(Dx)Φ + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ
これらを(5)に代入すると
(α/Φ)(Dt)Φ + (1/2)(α/Φ)^2{(Dx)Φ}^2 - ν{-(α/Φ^2)(Dx)Φ + (α/Φ)(Dx)*(Dx)*Φ) = g(t)
この段階でg(t)=0としてしまい、全体を(α/Φ)で割ると
(Dt)Φ + (1/2)(α/Φ){(Dx)Φ}^2 + ν(1/Φ)(Dx)Φ - ν(Dx)*(Dx)*Φ) = 0
となるのですが、α=2νとしても
(Dt)Φ + (ν/Φ)[{(Dx)Φ}^2 + (Dx)Φ] - ν(Dx)*(Dx)*Φ) = 0
となってしまい、第2項が消えてくれません。
どこでミスってるんでしょうか?

補足日時:2001/07/17 02:51
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     (φ(y)はyの任意の関数)

である。したがって、

     u = ∫φ(y)dy + θ(x)     ←これに至るまでの過程が分かりません
      = φ_1(y) + θ(x)
     (θ(x), φ_1(y)はそれぞれxおよびyの任意の関数)

となる。

・・・と本に書いてあります。
u = ∫φ(y)dy + θ(x) に至るまでの過程が分かりません。

上記の「∂u/∂y = φ(y)
     (φ(y)はyの任意の関数)
である。」以降を自分なりに解いてみますと:

次に
     (∂/∂y){y・φ(y)} = φ(y)
となることを活かして
     ∂u/∂y = (∂/∂y){y・φ(y)}
と変形する。これを移項して
     ∂u/∂y - (∂/∂y){y・φ(y)} = 0
     (∂/∂y){u - y・φ(y)} = 0
w = u - y・φ(y)とおけば
     ∂w/∂y = 0
となるので、例題の(1)式(http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8102140.html参照のこと)と同様にして
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     (θ(x)はxの任意の関数)
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     u - y・φ(y) = θ(x)
     u = y・φ(y) + θ(x)
(θ(x), φ(y)はそれぞれxおよびyの任意の関数)

・・・となりました。
どのタイミングでu = ∫φ(y)dy + θ(x)にしないといけないのか、
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である。したがっ...続きを読む

Aベストアンサー

>「∂u/∂y = φ(y) (φ(y)はyの任意の関数)である。」

>u = ∫φ(y)dy + θ(x)     
>←これに至るまでの過程が分かりません

過程などありません。
yについての不定積分だから
原始関数:∫φ(y)dy
に積分定数を加えただけです。yについての不定積分なので
xについての任意関数θ(x)が積分定数となります。
ただそれだけのことです。

>      = φ_1(y) + θ(x)
(θ(x), φ_1(y)はそれぞれxおよびyの任意の関数)>
上述の原始関数:∫φ(y)dyは積分形なので改めて
原始関数φ_1(y)で置き換えただけです。

>次に
>     (∂/∂y){y・φ(y)} = φ(y)
>となることを活かして
とはなりません。
(∂/∂y){y・φ(y)} = φ(y)+yφ'(y)
ですよ。
なので、あなたの折角の苦労も無駄でしたね。

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模範解答
1/(u^2) (∂u/∂x) = 1 と変形して

     - 1/u = x + φ(y)

を得る。これより

     u = -1 / { x + φ(y) }
     (φ(y)はyの任意の関数)
 
・・・と本には書かれていますが、
1/(u^2) (∂u/∂x) = 1 と変形してから

     -1/u = x + φ(y)

を得るまでの過程を正式にどう書くのかが分かりません。
自分なりにやってみますと:

     1/(u^2) (∂u/∂x) = 1

両辺をxで偏積分(?)する

     ∫{ 1/(u^2) (∂u/∂x) } ∂x = ∫1∂x
     ∫{ 1/(u^2) } ∂u = x + φ(y)
     ∫{ u^(-2) } ∂u = x + φ(y)
     (1/-1) u^(-1) + C = x + φ(y)
     -u^(-1) + C = x + φ(y)
     -1/u + C = x + φ(y)
     -1/u = x + φ(y) - C

積分定数Cをφ(y) で吸収・合併(!?)

     -1/u = x + φ(y)

・・・となりました。まず、考え方はこれで合ってますでしょうか?
そして、正式にはどう書くのでしょうか?
教えてください。お願いします。

u を x と y の関数として、次の偏微分方程式の解 u(x,y) の形を求めよ。

∂u/∂x = u^2

模範解答
1/(u^2) (∂u/∂x) = 1 と変形して

     - 1/u = x + φ(y)

を得る。これより

     u = -1 / { x + φ(y) }
     (φ(y)はyの任意の関数)
 
・・・と本には書かれていますが、
1/(u^2) (∂u/∂x) = 1 と変形してから

     -1/u = x + φ(y)

を得るまでの過程を正式にどう書くのかが分かりません。
自分なりにやってみますと:

     1/(u^2) (∂u/∂x) = 1

両辺をxで偏積分(?)する

  ...続きを読む

Aベストアンサー

∂u/∂x = u^2

u^(-2)∂u/∂x=1 (1)

をみて

∂u^n/∂x =nu^(n-1)∂u/∂x  (2)

を連想します。

uの次数が合うためには

n=-1

∂u^(-1)/∂x=-u^(-2)∂u/∂x=-1

すなわち

∂u^(-1)/∂x=-1

これより

u^(-1)=-x+p(y)

u=-1/(x-p(y)) ( -p(y)=φ(y)とすればよい。)

質問者のやり方ももちろんあっています。


> xで偏積分(?)する

通常

「xで積分する」と言っています。

Qx^2+y^2=4{(x-9)^2+y^2}

x^2+y^2=4{(x-9)^2+y^2}
これを整理すると
x^2+y^2-24x+108=0
だそうです。
何回やってもこの整理された答えにならないので、途中の詳しい流れを教えてください。

蛇足かもしれませんが、二点間の距離の比の軌跡を求める問題のとある部分です。

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「何回やってもこの整理された答えにならない」というのなら,その自分でやったのを開示してどこが間違っているかを聞くのが,こういうところでの作法です。

Q集合論に強い方、R^2=平面、R^1=直線、R^0=原点?、またR^φやφ^φの意味?

集合論に強い方、お願いいたします。
Rは実数として、

R^2=平面、R^1=直線、R^0=原点

と思いますが、どのように意味づけされるかというと、
R^2={(x,y)|x∈R,y∈R}
だと、R^0がうまく説明できないので、
R^2={f|f:2点集合{x,y}→R 写像}
とすればうまくいきそうですが、
それで
R^0=原点
というのがうまく説明できるでしょうか?

また、
R^φやφ^φ
の意味付けをご存知の方は教えていただけ無いでしょうか。

Aベストアンサー

> R^2=平面、R^1=直線、R^0=原点

「原点」ではなく,ただ「点」ですね(R^1 が「x軸」ではないように)。

A^Φ={Φ} です。Φ ではありません。
Φ^Φも{Φ} です。0^0=1 肯定派の論拠の1つです。


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