この問題の答えを教えて欲しいです。 できれば途中式もお願いします！

この問題の答えを教えて欲しいです。
できれば途中式もお願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2018/05/06 08:58

三重積分です。

他の変数を定数として変数順に積分する決まりがあります。
∫ｄｖ＝∫∫∫ｒ²cosθｄｒｄθｄΦ＝a³/3∫∫cosθｄθｄΦ＝a³/3×（sinπ/2－（sinーπ/2）)∫ｄΦ＝a³/3×2×（２πー０）=4πa³/3
地球の半径をaとした時の地球の体積です。

この回答へのお礼

お2人ともありがとうございました。
どちらか１つか選べないのでとりあえず選んだだけで2人ともベストアンサーです！！

お礼日時：2018/05/06 17:05

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/06 00:54

途中式も何も、3つの変数でそれぞれ定積分すればよいだけです。

積分範囲が
r ：0→R　(R は地球の半径)
θ：-パイ/2 → +パイ/2（「北緯0～90°、南緯0～90° に相当）
φ：0 → +2パイ （「東経0～180°、西経0～180° に相当）
であることはよいですね？

まず、dV を φ：0 → +2パイ で積分したら、
　dV1 = ∫[0 → +2パイ]{r^2*cos(θ)*dr*dθ}dφ = 2パイ*r^2*cos(θ)*dr*dθ
ですよね？　式の中に「φ」は含まないので、「φ」での積分は単なる「定数の積分」ですから。

次に、dV1 を θ：-パイ/2 → +パイ/2 で積分したら、
　dV2 = ∫[-パイ/2 → +パイ/2](2パイ*r^2*cos(θ)*dr}dθ
　　　= 2パイ*r^2*dr*∫[-パイ/2 → +パイ/2]cos(θ)dθ
　　　= 2パイ*r^2*dr*[ sin(θ) ][-パイ/2 → +パイ/2]
　　　= 4パイ*r^2*dr
「θ」を含む項以外は「定数」とみなせばよいです。

最後に、dV2 を r ：0→R で積分します。
　V = ∫[0 → R]{4パイ*r^2}dr
　　= 4パイ*∫[0 → R]{r^2}dr
　　= 4パイ*[ r^3 /3 ][0 → R]
　　= (4/3)パイ*R^3

球の体積の公式の出来上がりです。