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物理の問題です!

半径 R の円周上を運動している質点について考える.時刻 t における質点の位置は、 x 軸から測った角を θ(t)[rad] とおけば,物体の位置ベクトルは
r(t) = R(cos θ(t)i + sin θ(t)j)
のように表される
質点の運動が,必ずしも一定の速さでない場合:

(i) 角速度 ω(t) は,θ(t) によってどのように表されるかを,簡単に理由をつけて答えよ.


この問題を教えて下さい!

A 回答 (2件)

>物体の位置ベクトルは


>r(t) = R(cos θ(t)i + sin θ(t)j)
>のように表される

「r(t)」はベクトル(→r(t))、i, j は x, y 方向の単位ベクトルということですね? (そう書かないと意味をなさない表記です)

ほとんど「角速度」の定義みたいな話なので、どう書けばよいのか逆に迷いますが、下記のようなものもひとつの説明になるかと。

角速度を ω(t) (rad/s) とすれば、円周上の周速度 v(t) (m/s) は、半径を R (m) として
 v(t) = R*ω(t)   ①
と書けます。

一方、時間 t → t+Δt (s) の間に角度が θ → θ+Δθ (rad) になったとすれば、角度の変化率は
 [ (θ+Δθ) - θ ]/[ (t+Δt) - t ] = Δθ/Δt (rad/s)
であり、Δt→0 の極限が
 dθ/dt (rad/s)
になります。この間に進む円周上の位置は
 R*dθ/dt (m/s)
であり、これが①の周速度に等しいので
 R*dθ/dt = v(t) = R*ω(t)

従って、
 ω(t) = dθ(t)/dt
の関係になる。
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この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます!

お礼日時:2018/05/07 12:35

要は「角速度とはなにか」って問題だよね.



https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E9%80%9F …
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半円周上を移動した時の力がする仕事


工学部機械科の一年生です。、
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F=-mge(z)
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ここで、C1は点Aから点Bまでz軸上を移動する経路、Cは点Aから点Bまで半径aの円周上を移動する経路である。

この問題でどの経路を通っても仕事は等しいというのはわかるのですが、W2を計算で求めたいです。
おそらくW2のような計算は高校物理ではなかったので、こういった問題を解けるようにしたいのでW2の求め方を教えていただけると幸いです。

よろしくお願いいたします!

Aベストアンサー

仕事の定義をしっかりと確認しましょう。

点s(x,y)→において働く力F(S)→が経路l (始点s0→,終点s1→)でする仕事Wは
W=∫_l(s0→→s1→) F(S)→・ds→
となります。
・はベクトルのスカラー積(内積),ds→はs→における経路lの接線方向の積分変数(線素)です。
全てはこの式から計算することになります。

この計算を行う場合、l上の点s→とds→を計算できるように表すことが必要となります。通常は適当な座標でs→を表しその座標要素で表現します。

今回の場合、座標として角度を使う方が良いでしょう。
O(0,0)から見た俯角θを座標として使いましょう。x軸よりも上なら正、下なら負の値を持つx軸となす角度をとります。
位置θの時の半径aの半円上の点sの座標はs(a*cosθ,a*sinθ)となります。
sをθで微分すると
ds→/dθ=(-a*sinθ,a*cosθ)  これからds→=dθ(-a*sinθ,a*cosθ) と表せます。
これを定義の式に入れると

W=∫[θ:-π/2,π/2] F(S)・dθ(-a*sinθ,a*cosθ)=∫[θ:-π/2,π/2] -mge(z)・dθ(-a*sinθ,a*cosθ)
=∫[θ:-π/2,π/2] -amg*cosθ・dθ

となります。

このような積分(線積分)は使えるようになってください。

このようにして計算した仕事が経路によらないことを確認するにはさらにベクトル解析の知識が必要となります。
(ストークスの定理を使うと簡単に示せます)

仕事の定義をしっかりと確認しましょう。

点s(x,y)→において働く力F(S)→が経路l (始点s0→,終点s1→)でする仕事Wは
W=∫_l(s0→→s1→) F(S)→・ds→
となります。
・はベクトルのスカラー積(内積),ds→はs→における経路lの接線方向の積分変数(線素)です。
全てはこの式から計算することになります。

この計算を行う場合、l上の点s→とds→を計算できるように表すことが必要となります。通常は適当な座標でs→を表しその座標要素で表現します。

今回の場合、座標として角度を使う方が良いでしょう。
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Q非保存力の経路による仕事の計算

大学の物理の授業で下記の問題を出題されました。

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弦の方は求めれたのですが、円周のほうがわかりませんでした。

答えは円周経路がW=∫(fxdx+fydx)={(b-a)r^3}/3となるらいしいのですがなぜこうなるかもわかりません。

どなたか解説していただけないでしょうか。よろしくおねがいします

Aベストアンサー

W = ∫f~・dr~ = ∫(fxdx + fydy)

ですね。( ~ はベクトル)

円周にそう経路積分ですから、
x = r cosθ, y = r sinθ
dx = -r sinθdθ, dy = r cosθdθ
とおきます。

W = ∫{ a r cosθ r sinθ (-r sinθ) + b(r sinθ)^2 (r cosθ) }dθ
 = (b-a)r^3∫sin^2θcosθdθ
 = (b-a)r^3∫sin^2θ(sinθ)'dθ
 = (b-a)r^3[1/3・sin^3θ](0~π/2)
 = (b-a)r^3/3

となります。なお、積分範囲は(0~π/2)です。

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えて下さい。

Aベストアンサー

No.1&2です。大学?????

だったら、教授に確認してください。

No.2の
「ω(t) = r × v(t)」

「ω(t) = v(t)/r 」
ですね。お恥ずかしい。


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