プロが教えるわが家の防犯対策術!

次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。
もう少し詳しく教えていただけると幸いです。
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&m …

A 回答 (1件)

リンク先の説明で分からないのは、かなり致命的な問題ですよ。


そもそも、「内分」はともかく、「外分」の意味が分かるのですか?
また「重心」とは何なのかも分かりますか?
まずは、全体の図を描けることが前提です。自分で図を描いてみてください。

下記は、ベクトルの「置き換え」を順を追って書いてみましたので、図を見ながら自分で「手書き」して追ってみてください。

「OA を 3:1 に外分する点 P」ということは
 →OP = (3/2)→OA   ①   ←ア
ということが分かりますか?

内分なので
 →OQ = (2/3)→OB   ②   ←イ
は分かりますね?

R は、「AB を s:(1 - s) に内分する点(0<s<1)」かつ「PQ を t:(1 - t) に内分する点(0<t<1)」と考えて、
 →AB = →AO + →OB = →OB - →OA
 →PQ = →PO + →OQ = →OQ - →OP
なので
 →OR = →OA + →AR = →OA + s→AB = →OA + s(→OB - →OA) = (1 - s) →OA + s→OB  ③
かつ
 →OR = →OP + →PR = →OP + t→PQ = →OP + t(→OQ - →OP) = (1 - t) →OP + t→OQ  ④

④に①②を代入して
 →OR = (1 - t) →OP + t→OQ = (3/2)(1 - t) →OA + (2/3)t→OB  ⑤
これが③に等しいので
 1 - s = (3/2)(1 - t)   ⑥
 s = (2/3)t       ⑦
⑦を⑥に代入すれば
 1 - (2/3)t = (3/2)(1 - t)
→ 1 - (2/3)t = 3/2 - (3/2)t
→ (5/6)t = 1/2
→ t = 3/5
これを⑦に代入して
 s = 2/5

よって、⑤より
 →OR = (3/5) →OA + (2/5)→OB   ←ウエ
 
R は、「PQ を t:(1 - t) に内分する点(0<t<1)」で、上の結果から t=3/5 なので
 →PR = (3/5)→PQ
つまり
 →PQ = (5/3)→PR   ←オ

一方、G は三角形OAB の重心なので、OG の延長線上に AB の中点があるのはわかりますか? それが分からなかったら「三角形の重心」を復習してください。

AB の中点を M とすると、S は →OM の延長線上にあります。
ここでは、実数 k を使って
 →OS = k→OM      ⑧
としましょう。
ここで、M は AB の中点なので
 →OM = (1/2)(→OA + →OB)
を使って、⑧は
 →OS = (k/2)(→OA + →OB)   ⑨
と書けます。

あとは、上でやったように、「S は PQ を p:(1 - p) に内分する点(0<p<1)」として
 →PQ = →PO + →OQ = →OQ - →OP
を使って
 →OS = →OP + →PS = →OP + p→PQ = →OP + p(→OQ - →OP) = (1 - p)→OP + p→OQ
①②を代入して
 →OS = (1 - p) →OP + p→OQ = (3/2)(1 - p) →OA + (2/3)p→OB    ⑩
これが⑨と等しいので
 k/2 = (3/2)(1 - p)   ⑪
 k/2 = (2/3)p     ⑫
⑫を⑪に代入して
 (2/3)p = (3/2)(1 - p)
→ (13/6)p = 3/2
→ p = 9/13

よって「「S は PQ を (9/13):(4/13) に内分する点」ということになり
 PS:SQ = 9:4   ←カキ
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