次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。
もう少し詳しく教えていただけると幸いです。
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&m …
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
リンク先の説明で分からないのは、かなり致命的な問題ですよ。
そもそも、「内分」はともかく、「外分」の意味が分かるのですか?
また「重心」とは何なのかも分かりますか?
まずは、全体の図を描けることが前提です。自分で図を描いてみてください。
下記は、ベクトルの「置き換え」を順を追って書いてみましたので、図を見ながら自分で「手書き」して追ってみてください。
「OA を 3:1 に外分する点 P」ということは
→OP = (3/2)→OA ① ←ア
ということが分かりますか?
内分なので
→OQ = (2/3)→OB ② ←イ
は分かりますね?
R は、「AB を s:(1 - s) に内分する点(0<s<1)」かつ「PQ を t:(1 - t) に内分する点(0<t<1)」と考えて、
→AB = →AO + →OB = →OB - →OA
→PQ = →PO + →OQ = →OQ - →OP
なので
→OR = →OA + →AR = →OA + s→AB = →OA + s(→OB - →OA) = (1 - s) →OA + s→OB ③
かつ
→OR = →OP + →PR = →OP + t→PQ = →OP + t(→OQ - →OP) = (1 - t) →OP + t→OQ ④
④に①②を代入して
→OR = (1 - t) →OP + t→OQ = (3/2)(1 - t) →OA + (2/3)t→OB ⑤
これが③に等しいので
1 - s = (3/2)(1 - t) ⑥
s = (2/3)t ⑦
⑦を⑥に代入すれば
1 - (2/3)t = (3/2)(1 - t)
→ 1 - (2/3)t = 3/2 - (3/2)t
→ (5/6)t = 1/2
→ t = 3/5
これを⑦に代入して
s = 2/5
よって、⑤より
→OR = (3/5) →OA + (2/5)→OB ←ウエ
R は、「PQ を t:(1 - t) に内分する点(0<t<1)」で、上の結果から t=3/5 なので
→PR = (3/5)→PQ
つまり
→PQ = (5/3)→PR ←オ
一方、G は三角形OAB の重心なので、OG の延長線上に AB の中点があるのはわかりますか? それが分からなかったら「三角形の重心」を復習してください。
AB の中点を M とすると、S は →OM の延長線上にあります。
ここでは、実数 k を使って
→OS = k→OM ⑧
としましょう。
ここで、M は AB の中点なので
→OM = (1/2)(→OA + →OB)
を使って、⑧は
→OS = (k/2)(→OA + →OB) ⑨
と書けます。
あとは、上でやったように、「S は PQ を p:(1 - p) に内分する点(0<p<1)」として
→PQ = →PO + →OQ = →OQ - →OP
を使って
→OS = →OP + →PS = →OP + p→PQ = →OP + p(→OQ - →OP) = (1 - p)→OP + p→OQ
①②を代入して
→OS = (1 - p) →OP + p→OQ = (3/2)(1 - p) →OA + (2/3)p→OB ⑩
これが⑨と等しいので
k/2 = (3/2)(1 - p) ⑪
k/2 = (2/3)p ⑫
⑫を⑪に代入して
(2/3)p = (3/2)(1 - p)
→ (13/6)p = 3/2
→ p = 9/13
よって「「S は PQ を (9/13):(4/13) に内分する点」ということになり
PS:SQ = 9:4 ←カキ
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