次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。
もう少し詳しく教えていただけると幸いです。
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A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
#3です。
n=1のときだけ示して証明することは、この問題では難しいようです。ひょっとしたらできるのかもしれないですが、むしろ式変形がとても難しくなりそうです。
帰納法問題の常套的解法は、n=k+1のときの式を、n=kのときの式を使って書き直すことです。しかしこの問題では、n=k+1のときの式を書き直すと、n=kのときの式と、n=k-1のときの式が現れます。つまり、もとのnから2つ下のものが現れます。ですので常套的解法では、n=1, 2のときを具体的に証明することになります。
帰納法問題には、このように「2つ下の関係」が現れることがあります。(x+1/x)のように、分数が混在している場合に現れるような印象があります。この問題は、そのことに気づかせる意図があるのかもしれません。
ちなみに、試しにcos(k+1)θから出発してみましたが、それでも「2つ下の関係」が現れました。
No.3
- 回答日時:
(1)のヒント:c^2+s^2=1と√(-1)=iの関係を使う。
(2)まず、等式は、解で証明されるとおり、「n=kとn=k+1のときに成り立てば、n=k+2のときにも成り立つ」(☆)。これはつまり「n=1, 2のとき成り立てば、n=3のときに成り立つ」、「n=2, 3のとき成り立てば、n=4のときに成り立つ」・・・ということです。
ここで、(☆)の関係の前半が仮定なので、前半を別に証明しないといけません。ただし、n=1, 2の場合さえ証明すれば、そのことを使って、3以上のnについては(☆)の関係から自動的に証明されます(分かりますか?)。そういう理由から、n=1, 2の場合を個別に証明しているのです。
数学の答えは、論理的な説明が足りないことがあります。自分の中で納得できるまで説明を足しましょう。それがより深く理解する助けになります。
No.2
- 回答日時:
(1) は, 求める z が 2次方程式の解であって見た目因数分解できそうにないから公式を使うことに疑問はない. 逆に「解の公式を使わない」としたら, どうやって z を求めます?
(2) は方針を見ればわかるけど帰納法で証明するときに k と k+1 から k+2 の場合を証明しているので n=2 についても確認しないといけない. まあそこに書いてあるようにドモアブルの公式が使えればもっと簡単なんだけど.
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