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立方体の切断で、切断面が六角形になる場合があります。
この場合、立方体のすべての面を使った六角形となり、立方体の
向かい合う面は平行なので、この六角形は向かう辺が平行の六角形
になると思います。(これを平行六辺形と呼ぶことにします)

そして、この六角形の辺の長さがすべて等しい時には、必ず正六角形に
なりますでしょうか。
つまり、平行六辺形のすべての辺の長さが等しい場合は正六角形になるか?
ということです。
(すべての辺の長さが等しいからといって正六角形ではない場合もあると
 思います)

空間図形が苦手です。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • 質問文でも書いているとおり、辺の長さがすべて等しくても
    正六角形とは限らないことはわかっています。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2018/05/08 02:56

A 回答 (7件)

6つの角の大きさが同じでなければ、正六角形とは言えません。

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立方体の一面を、真正面から見てみましょう。


縦をy軸、横をx軸と見立てて、たぶん斜めのカットが入るんでしょうね。
(x,y)=(a,0)から、x軸に対してθの角度で右斜め上にカットラインが入るとしましょう。
立方体の一辺の長さをLとすると、このとき、カットラインの長さは、(L-a)/cosθ。

立方体を上からつまんで時計方向に90度回してみましょう。同じxy座標を利用します。
左側にあるカットラインの始点は、(L-a)/sinθ。
そこから、(b,L)に向けて、x軸に対して角度φでカットラインが入る。
このカットラインの長さは、(L-b)/cosφであり、{L-(L-a)/sinθ}/sinφでもある。
つまりbはa、θ、φで表すことができる。

ここで、立方体をカットする平面の方程式を。
x軸とθの角度にあるベクトルは、(cosθ,sinθ)と表すことができるでしょう。
このxy平面の奥行きにz軸を考えると、(cosθ,sinθ,0)というベクトルになる。
上記φで表した直線、ベクトルは(その議論はzy平面上の物に相当するため)、同様に、(0,sinφ,cosφ)となる。
外積はご存じでしょうか?
この両者の外積を取ると、両ベクトルで作られる平面に、垂直なベクトルが得られる。
そいつを使うと、平面の方程式のxyzの傾き成分が得られる。
この平面が(a,0,0)、(L,L,b)を通ることから、平面の方程式が得られるでしょう。たぶん。
これと、立方体の上面の交点を求めれば良いでしょう。

そうして六辺形の三辺の長さを計算する。後々面倒になるのであれば、六辺全部の長さを出す。

次に、六辺形の三辺のベクトルを計算し、その単位ベクトルの内積を取って、それが等しければ、六辺形の全角度が等しいことが判ります。(平行六辺形であることが前提)

長さが等しいという条件の時に、上記の内積が等しくなるのか。

面倒になってきたので、後は丸投げします。(笑)
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>この六角形の辺の長さがすべて等しい時には、必ず正六角形になりますでしょうか。



立方体を平面で切り分ける時に
切断面が六角形になるのは6面全部を切る時で、
この時に切断線が6本でき、これに囲まれた多角形が「平行六辺形」になります。
(この時、元の立方体の辺6本切断します)

「平行六辺形」も無数にありますが、このうち六辺の長さが等しいのは、
切断面が立方体の6辺全部の中点を通るときだけ、だと思います。
中点からどちらにずれても六辺長は等しくはなりません。

一言で言えば「切断面が立方体の中心を通り対角線の1本(一例:CE)に垂直なとき、
切断面が正六角形になる」ということだと思います。

この時だけ3方向に対称、同時に裏表も対称で、
つまり平行六辺形の6辺長も等しく、中心角も等しいので。
「六角形の辺の長さが等しく、向かい合う3つ」の回答画像5
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辺の長さがすべて等しく、対辺が並行であっても、


正六角形になるとは限りません。

「正方形」と「ひし形」との関係を見れば、明らかですよね。
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すべての辺の長さが等しい


内角が150°150°60°150°150°60°
の平行六辺形は正六角形ではありません
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正六角形とは辺の長さと頂点の角度が全て等しい六角形を言います。

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辺の長さが全て等しくとも正六角形とはならないです


例えば、正六角形が上下に潰れた場合、辺の長さは等しく、向かい合う辺は平行でも正六角形ではないです。
この回答への補足あり
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参考URL:http://www.otsuka.co.jp/cmt/nutrition/healthynote/01.html

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元・機械設計製作をしていた者です.

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質問者さんが何ミリの径に対して公差 H7 を指定しているか分かりませんが,例えば,Φ10(直径10ミリ)のピンを打つ場合の公差 H7 は,穴がΦ10_H7(0 ~ +0.018)で,ピン(軸)は,Φ10_H7(0 ~ -0.018)です.ですから,最大で,0.036ミリの隙間があります.お客さんは,この 0.036ミリのガタを嫌ったのかも知れません.

>また、この場合はリーマで、この場合は、リーマ穴は駄目とかケースを教えて下さい

特に決まりはありません.その場,その場の設計者の経験と感とセンスによる場合が多いです.
この場合は絶対にリーマ穴じゃないとダメ.というような決まり・JIS規格のようなものはありません.

大雑把に言うならば,可動部分で,部品同士がズレを起こしてはならない部分は,リーマ穴です.
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静止部分で,部品同士がズレを起こす心配がなく,単なる位置決めの部分は,平行ピンを打つ場合が多いです.また,何かの理由で,リーマ穴に出来ないか,リーマ穴の効果が期待できない場合は,平行ピンを打ちます.例えば,板状の2枚の部品が薄ければ,リーマ穴にはしません.逆に,厚すぎてもリーマ穴には出来ません.

ですから,ケース・バイ・ケースなのです.

釈迦に説法でしょうが,公差についての参考です.
http://kousyoudesignco.dip.jp/drawingTolerance.html

寸法公差とはめあいのPDFファイルです.
http://www.den.rcast.u-tokyo.ac.jp/sekkei2009/doc/tolerance.pdf

以上です.

元・機械設計製作をしていた者です.

お客さんの意図が何かは分かりませんが,リーマ穴にするかどうかの一般的な規格・規則はなく,経験とその人の感覚による場合が多いです.リーマ穴にしておいた方がより安心だ! という様な.

質問者さんが何ミリの径に対して公差 H7 を指定しているか分かりませんが,例えば,Φ10(直径10ミリ)のピンを打つ場合の公差 H7 は,穴がΦ10_H7(0 ~ +0.018)で,ピン(軸)は,Φ10_H7(0 ~ -0.018)です.ですから,最大で,0.036ミリの隙間があります.お客さんは,この 0.03...続きを読む


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