収束についてです。 かなり曖昧な質問なのですが lim(x→a)f(x)=0 , lim(x→a)g

収束についてです。
かなり曖昧な質問なのですが
lim(x→a)f(x)=0 , lim(x→a)g(x)=0
でf(x)の方がg(x)速く収束するならば(つまりa付近で|f(x)|<|g(x)|)
lim(x→a)f(x)/g(x)=0
になりますか？
なったとしたらこの証明を教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/05/09 21:08

反例

|sinx|<|x| ( |x|<π/2)
lim(x→0)sinx/x=1

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かにそうですね！

お礼日時：2018/05/10 17:25

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/05/10 15:06

lim(x→a)f(x)=0, lim(x→a)g(x)=0 の前提の下で,

lim(x→a)f(x)/g(x)=0
であることをもって「f(x) は g(x) よりも速く 0 に収束する」ということはある. その場合
f(x)の方がg(x)速く収束するならば lim(x→a)f(x)/g(x)=0
は当然に自明だけど.

ただそうだからといって「a付近で|f(x)|<|g(x)|」とはいえないのがこの世の厳しいところでもある.

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2018/05/09 07:30

厳しくお答えします。

数学にf(x)の方がg(x)より速く収束する。と言った概念はありません。速い遅いは物理現象です。
百歩譲ってそれをｄｆ（ｘ）/ｄｔ＞ｄｇ（ｘ）/ｄｔとすると、ｄｆ（ｘ）＞ｄｇ（ｘ）両辺を積分するとｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）
lim(x→a)f(x)/g(x)＞lim(x→a)ｇ(x)/g(x)=１となってしまいます。
また、|f(x)|<|g(x)|としてもlim(x→a)｜f(x)｜/｜g(x)｜＜lim(x→a)｜ｇ(x)｜/｜g(x)｜=１で必ずしも０になりません。
結論が間違っている場合は仮定が間違いです。

No.1 回答者： usa3usa 回答日時： 2018/05/09 07:18

>lim(x→a)f(x)/g(x)=0

>になりますか？

g(x) = 2 f(x) となるようなg(x)を考えてみたら？