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座標平面上で、不等式│x-3│+│y-3│≦2で表される領域をDとする時
①点(x,y)がDを動く時2x+yの最大値をと、この時のx,yの値

②(x,y)がDを動く時x²+y²-4x-2yの最大値と、この時のx,yを求めよ


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gooドクター

A 回答 (2件)

絶対値を外すと4つの式が出来る。


x+y≦2、y-x≦2、x-y≦2、-x-y≦4
これらを満たす領域Dは点A(3,5)、点B(5,3)、点C(3,1)、点D(1,3)を4隅とする長方形である。
①Dで2x+yの最大値は13で(x、y)=(5,3)
②Dでx²+y²-4x-2y=x²+y²-2(2x+y)でx²+y²は原点からDまでの距離。x²+y²の最大は点Aと点Bで√34、この時
ー2(2x+y)は-22、-26で最大は√34ー22≒-16.2
x²+y²の最大は点Cと点Dで√10、この時
ー2(2x+y)は-10、-14で最大は√10ー10≒-6.8
よって、x²+y²-4x-2yの最大値は√10ー10で(x、y)=(1,3)
です。
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まずDを図示できていますか?問題解決のための必要条件です。


以下、Dの図示ができているものとして書きます。
1) 2x+y=k ⇔ y=-2x+k ですから、傾きがー2の直線を書き込みます。直線を動かし(直線とDが共有点をもつ状態で)y切片kが最大になるときを考えます。
2) x^2+y^2-4x-2y=k、とおいて k+5>0 のとき円周を表します(中心、半径を決定する)。
1) と同様の考えで、円の半径が最大となるのはどんなときかを考えてください。
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1) Max(k)=13, (x, y)=(5, 3)
2) Max(k)=12, (x, y)=(3, 5)
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