出産前後の痔にはご注意!

右図のような五角形OABCDにおいて、OA=OB=OC=OD=1,∠AOB=∠BOC=∠COD=θ(0<θ<π/3)で、E,Fはそれぞれ線分ADと線分OB,OCの交点である。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)三角形OEFの面積S(θ)をsinθ,cosθで表せ。
(2)S(θ)が最大となるときのcosθの値を求めよ。

A 回答 (1件)

(1)五角形OABCDは一辺1の二等辺三角形(頂点θで0<θ<π/3)を点Oへ頂点に扇状に3個並べた形の五角形です。

OA=OD=1で残りの3辺は
√(sin²θ+(1-cosθ)²)=√(2-2cosθ)
ΔOBC∽ΔOEF∽ΔCDEから
OC:CD=CD:CE⇒ 1:√(2-2cosθ)=√(2-2cosθ):CE
CE=(2-2cosθ)故に OE=1-CE
ΔOBCの面積は1/2*1*sinθ=1/2*sinθ
ΔOBC:ΔOEF=1²:(2cosθ-1)²=1/2*sinθ:ΔOEF
面積S(θ)=ΔOEF=sinθ*(2cosθ-1)²/2
です。
(2)
S(θ)=sinθ*(2cosθ-1)²/2
S’(θ)=cosθ*(2cosθ-1)²/2-4sin²θ*(2cosθ-1)/2
  =(2cosθ-1)(cosθ*(2cosθ-1)ー4sin²θ)/2
S(θ)が最大の時は(2cosθ-1)=0か(cosθ*(2cosθ-1)ー4sin²θ)=0
(2cosθ-1)=0の時はS(θ)=0
(cosθ*(2cosθ-1)ー4sin²θ)=0
6cos²θ-cosθ-4=0
cosθ=(1±√97)/12
0<θ<π/3より
cosθ=(1+√97)/12
sinθ=√(46ー2√97)/12
この時S(θ)の最大値は
S(θ)=(√(46ー2√97)/12)((1+√97)/6-1)²/2
  =(√(46ー2√97)×(61-5√97)/432
ですが、このように複雑な答えになるとどこかで間違いがある事が多いものです。
検証してください。
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