派遣を辞めたいと思っています。今年の1月から働き始めたのですが、3月頃から母の体調が悪くなり、休みが

派遣を辞めたいと思っています。今年の1月から働き始めたのですが、3月頃から母の体調が悪くなり、休みがちになっていました。このお休みについては派遣先の方は了承してくださっています。
しかし5月に入って、いよいよ母の体調が酷くなり何度も実家へ帰る必要が出てきました。
・母は県外在住
・父は離婚し、母1人のみ
・弟は県外にて新卒正社員
このような状況で手がわたししかなく、県外ではお世話をするにも無駄が多いため、止むを得ず現在の下宿先を引き払い、実家に帰ることになりました。
また、実家付近で新しく別派遣会社さんにて6月からの就業が決まっております。
現在の派遣会社での雇用期間は6月末まで。
しかし上記の理由から5月末にてやめさせて下さいと、営業担当者に申し出ました。
その結果、言われたのが「貴女が今辞めると仕事が回らなくなる」「6月末まで待てないか」。それに対し「物理的に就業が不可能です」とお答えしました。その後「また連絡する」と言われ一週間がたちました。
このままでは5月末まで連絡がなさそう、退職させてもらえなさそうです。
ここで質問です。
このまま現在の派遣会社が退職手続きを取ってくれなかった場合、6月から新しい派遣会社さんで働き始めると、雇用保険や社会保険などで支障がでますか？それとも前の派遣会社は自動的に削除されるのでしょうか。
ご教示ください。

質問者からの補足コメント

• 母の体調について、営業担当者には相談しましたが、「休みは派遣先と相談して」「こっちに連絡必要ない」と言われていました。
  また、就業開始から現在にいたるまで、営業担当者が様子見に来た回数は0回。更新確認があったこともなく、突然更新後の契約書が郵送されてきていました。

    補足日時：2018/05/17 18:20

No.1 回答者： どべちょ 回答日時： 2018/05/17 18:43

派遣先が了承しているのに『仕事が回らなくなる』というのがすでに矛盾しています。

派遣会社の営業担当の怠慢でしょう。派遣会社の経営者に直談判した方がいいんじゃないですか？もたもたしていられない状況ですからね。派遣会社がちゃんと対応してくれなかったら、最終的には派遣先に事情を説明して、一方的に辞めるしかないでしょうね。