力学の問題を教えてください

物理の力学の問題を教えてください。
図のように物体A(質量m)とB(質量M)が速さVで運動しています。この物体を止めるため物理BだけにFの一定の力を加えると物理Bが静止しました。物体の間のみ摩擦が働くとして静止摩擦係数と動摩擦係数をμ、μ’とします。
A、Bそれぞれの運動方程式はどう表せますか？
また、力を加え始めてから物体Bが静止するまでの間で物体A、Bとがずれた距離Lを求めるとどのようになりますか？

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/21 17:32

No.1 です。

もう少していねいに書いておきます。

(a) F < μmg　のとき、ＡとＢは滑らずに一体で動きます。
・運動方程式
　　(m + M)a = -F
・加速度
　　a = -F/(m + M)
・力を加え始めてからの時間 t における速度
　　v(t) = V - [ F/(m + M) ]t　　　　　　　　①
・力を加え始めてからの時間 t における変位
　　x(t) = Vt - (1/2)[ F/(m + M) ]t^2　　　　②

静止するのは、①において v(t1)=0 となる時刻 t1 なので
　　v(t1) = V - [ F/(m + M) ]t1 = 0
より
　　t1 = V/[ F/(m + M) ] = (m + M)V/F
従って、静止するまでの動く距離は、②より
　　x(t1) = V*t1 - (1/2)[ F/(m + M) ](t1)^2
　　　　 = V*(m + M)V/F - (1/2)[ F/(m + M) ][(m + M)V/F]^2
　　　　 = (m + M)V^2 /F - (1/2)(m + M)V^2 /F
　　　　 = (1/2)(m + M)V^2 /F

(b) F ≧ μmg　のとき、ＡはＢの上を滑ります。
Ａ：
・運動方程式：Ａの加速度を a として
　　ma = -μ'mg
・加速度
　　a = -μ'g
・力を加え始めてからの時間 t における速度（ただしＢから落ちない範囲内で）
　　v(t) = V - μ'gt　　　　　　　　①
・力を加え始めてからの時間 t における変位
　　x(t) = Vt - (1/2)[ F/(m + M) ]t^2　　　　②

Ｂ：
・運動方程式：Ｂの加速度を b として
　　Mb = -F + μ'mg
・加速度
　　b = (-F + μ'mg)/M
・力を加え始めてからの時間 t における速度（ただしＡが落ちない範囲内で）
　　v(t) = V + [ (-F + μ'mg)/M ]t 　　　　　　③
・力を加え始めてからの時間 t における変位
　　x(t) = Vt + (1/2)[ (-F + μ'mg)/M ]t^2　　　　④

ＡとＢの運動が別々なので、(a) のような単純な計算はできません。
上の結果から、ＡとＢとの相対速度は
　　Vab = (V - μ'gt) - { V + [ (-F + μ'mg)/M ]t } = [ -μ'gt + (-F + μ'mg)/M ]t
　　　　= { [ μ'(m - M)g - F ]/M }t
になります。これを見れば分かるように、力Ｆを加え続ける限り、ＡもＢも、そして相対運動も「等加速度運動」になり静止することはありません。（運動の方向が「V」の方向から逆方向に転じる「速度=0」の瞬間はありますが）

＞また、力を加え始めてから物体Bが静止するまでの間で物体A、Bとがずれた距離Lを求めるとどのようになりますか？

上に書いたように、力を加え続ける限り物体Bが静止することはありません。

仮に「Ｂの速度がゼロになった時点で力を加えるのをやめる」とすると、③式よりその時刻 t2 は
　　v(t2) = V + [ (-F + μ'mg)/M ]*t2 = 0
より
　　t2 = V/[ (F - μ'mg)/M ] = VM/(F - μ'mg)
ですから、そのときまでにＢが動いた距離を④で求めるとともに、そのときのＡの速度を初速度とする運動方程式に対して静止するまでの時間を求めて（そのときの運動方程式では、動摩擦の働く方向は上に書いたものと逆向き）それまでに動く距離を求めれば、その差が L になります。
かなり面倒なので、計算はご自分でやってみてください。

もちろん「動摩擦係数μ'の大きさ」や「いつ力を加えるのをやめるか」などによって、L の値は千差万別に変わるのはNo.1に書いたとおりです。
その都度、条件を変えて運動方程式を解けばよいだけです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/20 20:10

Ｆの大きさによって現象が変わりますよ。

Ｆが「空気の抵抗」程度のものであれば、ＡとＢは「滑る」ことなく停止まで至ります。
より物理的に言えば
　F < μmg
であれば、ということです。
その場合の「停止するまで」のＡの運動方程式は
　(m + M)a = -F
です。（一体ですからＢも同じです）

F ≧ μmg であれば、ＡはＢ上を滑り出し、滑り出せば働くのは「動摩擦」なので、「停止するまで」あるいは「Ｂから落ちるまで」のＡの運動方程式は、Ａの加速度を a として
　ma = -μ'mg
であり、これをＦを加えた時刻を t として「初速度 V」の条件で解けば、「停止するまで」あるいは「Ｂから落ちるまで」のＡの速度は
　Va(t) = V - μ'gt
Ａの移動距離は
　Xa(t) = Vt - (1/2)μ'gt^2
となります。

一方、Ｂの運動方程式は、Ｂの加速度を b として
　Mb = -F + μ'mg
従って
　b = μ'mg/M - F/M
これをＦを加えた時刻を t として「初速度 V」の条件で解けば、Ｂの速度は
　Vb(t) = V - (μ'mg/M - F/M)t
Ｂの移動距離は
　Xb(t) = Vt - (1/2)(μ'mg/M - F/M)t^2
となります。
　
＞また、力を加え始めてから物体Bが静止するまでの間で物体A、Bとがずれた距離Lを求めるとどのようになりますか？

これは、ＡとＢは独立に動くので、上の条件だけでは求まりません。
上に書いたように F < μmg なら L=0 だし、μ' = 0 ならＡは止まらずに動き続けますから L=∞ です。