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0°≦x≦180°の時の、sinx+sin2x+sin3x+sin4x>0を解け。

解説お願いします!

A 回答 (2件)

和積の公式 sinx+siny =2 sin((x+y)/2) cos((x-y)/2) より、


sinx+sin2x+sin3x+sin4x
=(sinx+sin4x) + (sin2x+sin3x)
=2 sin((x+4x)/2) cos((x-4x)/2) + 2 sin((2x+3x)/2) cos((x-3x)/2)
=2sin(5x/2){ cos((-3x)/2)+ cos((-2x)/2)}
=2sin(5x/2){ cos(3x/2)+ cos(x/2)} … (A)

ここで、和積の公式 cosx+cosy =2 cos((x+y)/2) cos((x-y)/2) より、
(A) = 2sin(5x/2) ・2cosx cos(x/2)
=4sin(5x/2)・cosx・cos(x/2)

あとは、sin(5x/2)、cosx、cos(x/2)の
0°≦x≦180°における符号(+、-)をそれぞれ調べて
(A)>0になる場合を考えれば、それが答えです。

※ sin(5x/2)=0 → 5x/2 = 180°×n(n:整数)
0°≦x≦180°より、x=72°、144°

したがって、0°<x<45°、90°<x<135°、144°<x<180°
「0°≦x≦180°の時の、sinx+si」の回答画像1
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2018/05/29 10:27

0°≦x≦180°の時の、f(x)=sinx+sin2x+sin3x+sin4x>0を解け。



和を積にする公式sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)を次の各式に当てはめると
sinx+sin2x=2sin(3x/2)cos(-x/2)=2sin(3x/2)cos(x/2)__①
sin3x+sin4x=2sin(7x/2)cos(-x/2)=2sin(7x/2)cos(x/2)__②
①と②を加えると
f(x)=sinx+sin2x+sin3x+sin4x=2sin(3x/2)cos(x/2)+ 2sin(7x/2)cos(x/2)
=2cos(x/2){sin(3x/2)+sin(7x/2)}__③
ここで、さらに{ }の中を、和を積にする公式で変形すると
f(x)= 2cos(x/2){2sin(5x/2)cos(x)}__④
f(x)が因数分解されたので、f(x)=0となるためには
cos(x/2)=0またはsin(5x/2)=0またはcos(x)=0。
cos(x/2)=0よりx=180°__⑤
sin(5x/2)=0よりx=0°または72°または144°__⑥
cos(x)=0よりx=90°__⑦
以上よりf(x)は次の5点で符号が変わる。
0°, 72°, 90°, 144°, 180°__⑧
このほかに零点(x軸との交点)はない。
y=f(x)のグラフは図のようになる。
よってf(x)>0の領域は
0°<x<72°または90°<x<144°__⑨
「0°≦x≦180°の時の、sinx+si」の回答画像2
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2018/05/29 10:27

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