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整数m,nについて
「m2乗+n2乗が奇数ならば、積mnは偶数である」を示せ

という問題の解き方を教えてください!

急ぎです、

A 回答 (4件)

mもnも両方とも奇数だと仮定する。


すると、m²もn²も奇数なので、m²+n²は「奇数+奇数」であり、偶数になってしまう。
しかし、これは題意に反するので、「mもnも両方とも奇数」という仮定が間違っていたことになる(背理法)。
したがって、mかnの少なくとも一方は偶数であるから、その積mnは偶数である。(証明終了)
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mが偶数/奇数、nが偶数/奇数の組み合わせ4パターンについて


m^2+n^2 と mnの遇奇を調べれば良いのです。

偶をe、奇とοとすると
m=e、n=e→m^2+n^2=e、mn=e
m=e、n=o→m^2+n^2=o、mn=e
m=o、n=e→m^2+n^2=o、mn=e
m=o、n=o→m^2+n^2=e、mn=o
というわけで、命題は常に正しい。
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mnが奇数ならm^2+n^2は偶数?(対偶)


mn=2k+1
これより、m、nは奇数である。
m=2r+1,n=2s+1
m^2+n^2=(2r+1)^2+(2s+1)^2
=4r^2+4s^2+4r+4S+2①

4r^2+4s^2=(2r+2s)^2-8rs②
①、②よりmnが奇数ならm^2+n^2は偶数
よって、m2乗+n2乗が奇数ならば、積mnは偶数である
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mとnの両方が偶数ならば、m^2もn^2も偶数であり、その和も偶数である。

一方、mとnの両方が奇数ならばm^2もn^2も奇数となり、その和は偶数になる。
だから、m2乗+n2乗が奇数ならば、mかnのどちらかは偶数であり、他方は奇数である。
だから、積mnは必ず奇数×偶数の形となり、結果として偶数となる。
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