数学的帰納法について。

なぜ、n=1,n=2を試しているのでしょうか？わざわざ、n=2まで試さなくてもよいと思うのですが。
n=k,n=k＋1を仮定して、n=k＋2を証明する方法がわかりません。範囲もかかれていないのですが。教えていただけると幸いです。
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&m …

質問者からの補足コメント

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  リンク先の一般項はなんなのでしょうか？教えていただけると幸いです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/02 20:42

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  複数の自然数で得られた解とはどういうことでしょうか？後、なぜ、n=1だけでは、一般項を推測するのに、不十分なのでしょうか？リンク先の問題です。教えていただけると幸いです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/02 21:25

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  (2) 任意のn∈Nについて (P(n)⇒P(n+1)) を証明する。
  　すなわち
  　　(R(n+1) ∧ R(n+2)) ⇒ (R(n+2) ∧ R(n+3))
  を証明する訳ですが、⇒の右にあるR(n+2)は既に⇒の左に出てきていますから、
  　　(R(n+1) ∧ R(n+2)) ⇒ R(n+3)
  を証明すれば足りる訳です。
  
  　以上で証明されたのは
  　　任意のn∈Nについて (R(n+1) ∧ R(n+2)) である。
  という命題ですから、ただちに
  　　任意のn∈Nについて R(n+1) である。
  ここら辺がわかりません。教えていただけると幸いです。
  全文分かりません。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/03 23:41

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  「n=k,n=k＋1を仮定して、n=k＋2を証明する方法」
  なぜ、リンク先で貼った問題で、この方法を使う必要があったのでしょうか？
  教えていただけると幸いです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/03 23:44

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  もう少し簡単に説明していただけないでしょうか？わかりづらいです。教えていただけると幸いです。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/05 21:58

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2018/06/04 10:40

No.4へのコメントについてです。

> (2) 任意の… を証明すれば足りる訳です。
の部分について。

(2) は「どんなn∈Nについても 『P(n)ならばP(n+1)である』」ことを証明する。
ここでP(n)とは (R(n+1) ∧ R(n+2)) のことであり、P(n+1)とは (R(n+2) ∧ R(n+3)) のこと。
　なので(2)では
　「どんなn∈Nについても 『(R(n+1) であり、かつ R(n+2)である）ならば　(R(n+2) であり、かつ R(n+3)である）』 」
ということを証明するわけです。
　この証明は、以下の二つの証明を行えば完了します。
(a) 「どんなn∈Nについても 『(R(n+1) であり、かつ R(n+2)である）ならば　R(n+2) である』 」を証明する。
(b) 「どんなn∈Nについても 『(R(n+1) であり、かつ R(n+2)である）ならば　R(n+3) である』 」を証明する。
　ここで、(a)については、R(n+2)であることを前提にすればR(n+2)であるのは当たり前。だから自明に成り立っています。
　なのでホンキで考えねばならないのは(b)だけであり、(b)を証明すれば足りる。


> 以上で証明されたのは… である。
の部分について。

　(1)と(2)の証明を行った結果、数学的帰納法によって「任意のn∈NについてP(n)である」という命題が証明されました。
　ここでP(n)とは (R(n+1) ∧ R(n+2)) のことですから、証明されたのは
　「どんなn∈Nについても 『(R(n+1) であり、かつ R(n+2)である』」
ということです。
　これを言い換えれば、
「『どんなn∈Nについても R(n+1) 』であり、かつ、『どんなn∈Nについても R(n+2) である』」
ということであり、さらに言い換えれば、『
(A)「どんなn∈Nについても R(n+1) である」
(B)「どんなn∈Nについても R(n+2) である」
という二つのことがどちらも成り立つ』
ということです。
　　
　そして、ご質問の問題が要求しているのは(A)だけです。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2018/06/03 15:22

Nを自然数全体の集合 N={0,1,2,…}とします。

　ご承知の通り、数学的帰納法は、述語Pについて
　　任意のn∈NについてP(n)である。
が成り立つ事を、
　　(1) P(0) を証明する。
　　(2) 任意のn∈Nについて (P(n)⇒P(n+1)) を証明する。
の二つの証明を行うことによって証明するものです。(ただし "x⇒y" は「xならばy」という論理演算です。）他にバリエーションなんかありません。

　ご質問の場合には、述語Rを
　　R(n) = (z^n+1/(z^n)=2cos(nθ))
とするとき、
　　P(n) = R(n+1) ∧ R(n+2)
とおいて、数学的帰納法を用いて任意のn∈NについてP(n)であることを証明しています。( ただし”x∧y” は「xかつy」という論理演算です。）

(1) P(0)を証明する。
　　P(0) = R(1) ∧ R(2)
なので R(1)とR(2)を証明すればP(0)が証明されたことになります。

(2) 任意のn∈Nについて (P(n)⇒P(n+1)) を証明する。
　すなわち
　　(R(n+1) ∧ R(n+2)) ⇒ (R(n+2) ∧ R(n+3))
を証明する訳ですが、⇒の右にあるR(n+2)は既に⇒の左に出てきていますから、
　　(R(n+1) ∧ R(n+2)) ⇒ R(n+3)
を証明すれば足りる訳です。

　以上で証明されたのは
　　任意のn∈Nについて (R(n+1) ∧ R(n+2)) である。
という命題ですから、ただちに
　　任意のn∈Nについて R(n+1) である。
も言えます。これが証明したかった命題でした。

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2018/06/03 07:27

>なぜ、n=1,n=2を試しているのでしょうか？わざわざ、n=2まで試さなくてもよいと思うのですが。

おっしゃる通り。
「n=kを仮定して、n=k＋1を証明する」方法であれば、わざわざ、「n=2まで試さなくてもよい」ことになります。

証明の仕方は無限にあります。たまたま、参考にされた証明が、
「n=k,n=k＋1を仮定して、n=k＋2を証明する方法」だったので、「連続する２つの場合で試す必要があった」ということです。
ちなみに、「n=k,n=k＋1,n=k+2を仮定して、n=k＋3を証明する方法」では、「連続する３つの場合で試す必要」がありますよね。
極端な話、連続する１００００個を仮定して、n=k+10001を証明する方法だって考えられますから、証明の仕方は無限にあります。以下同様。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/06/02 21:07

ANo.1です。

>リンク先の一般項はなんなのでしょうか？教えていただけると幸いです。

リンク先の問題文に書いてあります。

Z^n + (1/Z^n) = 2cos(nΘ) （n: 自然数）

ただし、Z+(1/Z)=2cosΘを満たすことが前提。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/06/02 19:37

数学的帰納法は、特定の自然数で得られた解を元に推測される一般項を仮定して、任意の自然数において一般項が成立することを証明する手法です。

一般項を推測するのに必要となる、特定の自然数で得られた解は一つで十分とは限りません。
質問のリンク先の問題のように、複数の自然数で得られた解を用いないと、一般項を推測できない場合もあります。