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以下の複素積分に関する問題ですが、解き方がわからないので教えていただけませんでしょうか。

A. 始点1-i,終点1+iとする。次の積分路に沿うf(z)=z ̅(バー)の複素積分の値を求めよ。
  C=r1+r2, r1:始点1-i, 終点2の線分,r2:始点2,終点1+iの線分
  答え:4i
  → それぞれの積分を解いて足し算するのがわかりますが,その積分関数をどうやって求めるのはわからないです。

B. C:z ̅(バー)=t+it (t:0→1)のとき
  |∫_C ⅆt/(z-1)|≤2
  を示せ。

C. C:r ̂=i ̂cos t + j ̂sin t (t:0→2π)
  M=-y, N=x
  のとき、平面におけるグリーンの定理を求めよ。

質問者からの補足コメント

  • 質問の記号がわかりずらいことがあったので修正させていただきます。

    B. C:z ̅(バー)=t+it (t:0→1)のとき
      |∫ dt/(z-1)|≤2
      を示せ。

    C. C:r ̂(ベクトル)=i ̂(ベクトル)cos t + j ̂(ベクトル)sin t (t:0→2π)
      M=-y, N=x
      のとき、平面におけるグリーンの定理を求めよ。

      補足日時:2018/06/03 15:26

A 回答 (2件)

Aのみ回答 (ここではzの複素共役をžとする)



∫₍c₎ždz=∫₍r₁₎(x-iy)(dx+idy)+∫₍r₂₎(x-iy)(dx+idy)
=∫₍r₁₎(xdx+ydy)-i∫₍r₁₎(xdy+ydx)+∫₍r₂₎(xdx+ydy)-i∫₍r₂₎(xdy+ydx)
=[x²/2]x=1→2 + [y²/2]y=-1→0 - i{2*[xy](x,y)=(1,-1)→(2,0)}
 + [x²/2]x=2→1 + [y²/2]y=0→1 - i{2*[xy](x,y)=(2,0)→(1,1)}
=4i



Cは使われている記号の用いられ方が不明なため質問文からだけでは推し量りかねるので答えられない・・!
(一応Bは複素積分の性質から導けるとは思うが、(ⅆtの意味をこちらで按配した上で)少し面倒だが計算によっても確かめられるとは思う!)
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この回答へのお礼

丁寧に説明していただいて本当にありがとうございました。
ちょっとまだ悩んでいることなですが、計算したら-4iになるので、絶対値を取ると思ってて良いですか?

また、BとCの質問文がわかりにくくて申し訳ないです。一応修正したので、できれば教えていただけるとありがたいです。

お礼日時:2018/06/03 16:09

計算したら-4iになる・・??


→-はつかないよ!

絶対値を取ると思ってて良い・・??
→絶対値を取った訳ではないよ!!

何か勘違いしてる様に思えるのだが・・!

質問B.について・・!
|∫₍c₎{1/(z-1)}ⅆt|≦∫₍c₎|1/(z-1)||ⅆt|≦|1+i|≦2


質問.Cは閉曲線CとM=-y,N=xとの関係性が補足からもまだよく分らない・・!
M,Nって何?
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