物理の運動学に関する練習問題です。解答を教えてください。よろしくお願いいたします。 ① 空気中を速さ

物理の運動学に関する練習問題です。解答を教えてください。よろしくお願いいたします。



① 空気中を速さvに比例する抵抗力bvを受けながら鉛直下方に落下する質量mの雨滴の運動方程式を書け。(鉛直下向きをx軸正方向とする。)
② 雨滴がある速さVtになると、雨滴に働く力が0になり、雨滴は一定の速さVtで落下し続ける。この速さVtを求めよ。
③ ①運動方程式を解いて、雨滴が落ち始めてから、速さVtになるまでの時刻tと速さvの関係を求めよ。また、時刻tと速さvの関係のグラフを描け。

物理が苦手なので、なかなか解けません。物理がお上手な方が助けてください！よろしくお願いいたします！

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/04 00:56

運動方程式は微分方程式になるけど、微分・積分は理解しているということでよろしいのかな？

③があるので、微分方程式を解くのが条件ですね。
ということは、高校物理の範囲を越えています。ということは、質問者さんは大学生ですか？

通常の自由落下で、空気抵抗がないとすれば、運動方程式は
　m*dv/dt = -mg　　　(a)
従って
　dv/dt = -g
これを積分すれば
　v(t) = -gt + C1
初速度ゼロなら
　v(0) = C1 = 0
で
　v(t) = -gt
となります。

① 抵抗力 bv がある条件なら、(a) の運動方程式の「力」の項（右辺）にこの「抵抗力」が加わり
　m*dv/dt = -mg - bv　　　(b)
となります。

② 上記の運動方程式 (b) は、右辺にも v があることので、高校物理では解けません。
　ただし、雨滴の落下速度が大きくなるほど「抵抗力 bv」も大きくなり、ある程度の速さになると「重力」と「抵抗力」がつり合って、一定速度になります。そのときには、もう加速しないので
　　a = 0
となり、(b) より
　　-mg - bVt = 0
→　Vt = -mg/b
となります。これが「終端速度」です。

③ (b) の微分方程式を解けということですね。(b) を
　dv/dt = -(b/m)v - g　　　(c)
と書き直しましょう。
あとは数学のテクニックですが、
　y = (b/m)v + g
とおくと
　v = (m/b)y - (m/b)g
なので
　dv/dy = m/b
→　dv = (m/b)dy

これで (c) を書き換えると
　(m/b)dy/dt = -y
→　dy/y = -(b/m)dt
これを積分すれば
　∫(1/y)dy = -(b/m)∫dt
→　ln(y) = -(b/m)t + C2
→　y = e^[-(b/m)t] * e^C2
　　　= C3*e^[-(b/m)t]

y を元に戻して
　(b/m)v + g = C3*e^[-(b/m)t]
→　v(t) = (m/b)C3*e^[-(b/m)t] - mg/b
初期条件を v(0)=0 とすると
　　v(0) = (m/b)C3 - mg/b = 0
より
　　(m/b)C3 = mg/b
よって
　　v(t) = -mg/b{ 1 - e^[-(b/m)t] }　　　(d)

これは
　t=0 のとき v(0) = 0
　t→無限大のとき v(t)→ -mg/b
で、下記のような曲線ですね。

↓　これは下向きを「正」にした図なので、全体の上下を逆にしたものが上記の(d)式のグラフに該当します。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/houteisik …

この回答へのお礼

凄く詳しく教えてくださってありがとうございます！大学生ですが、物理が苦手なので高校時代殆ど物理を勉強していません。詳しく教えていただいても③の問題がやはり理解できません......でも本当にありがとうございます！

お礼日時：2018/06/04 12:29