物理量Xと物理量Yの間には、a,bを定数として、以下の1.または2.の関係があることが予想されている

物理量Xと物理量Yの間には、a,bを定数として、以下の1.または2.の関係があることが予想されているとする。ただし、eは自然対数の底である。
1.Y＝aX＋b
2.Y＝ae^(−b/x) ただし、a,bは正の数としてよい
今、実験により物理量Xのn個の測定値(X1,X2,.....Xn)に対して、それぞれに対応する物理量Yの測定値(Y1,Y2....Yn)を得た。n個の測定値(xi,yi) (i＝1,n)を最もよく再現する上式aとbを求めるには、どのような方法を用いたらよいか、1.と2.の場合についてそれぞれ詳細に書きなさい。式の導出も書きなさい。
回答お願いします。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/08 15:28

1、の場合は最小二乗法を使えばよいが

2、の場合は、logY対1/Xについて最小二乗法を使うのがよい。
1、の場合Yi＝aXi＋b+ei＿＿①
を仮定する。eiは誤差項である。誤差の二乗和をSとすると、①から
ei＝Yi－(aXi＋b)＿＿②
S=Σei²＝Σ(Yi－(aXi＋b))²
　Sを最小にするための(－1/2)∂S/∂a=0，(－1/2)∂S/∂b =0を作れば
(－1/2)∂S/∂a=ΣXi (Yi－(aXi＋b))=0＿＿③
(－1/2)∂S/∂b=Σ(Yi－(aXi＋b))=0＿＿④
これより
ΣXi²a＋ΣXi b =ΣXiYi＿＿⑤
ΣXia＋n b =ΣYi＿＿⑥
a，bを解くと
a= (nΣXiYi－ΣXiΣYi)/(nΣXi²－ΣXiΣXi)＿＿⑦
b= (ΣXi²ΣYi－ΣXiYiΣXi)/(nΣXi²－(ΣXi)²)＿＿⑧
2、の場合
xi=1/Xi，(i=1～n)＿＿⑨
yi=logYi，(i=1～n)＿＿⑩
によりすべてのデータをxi， yiに変換する。
式①の代わりに
yi＝Axi＋B+ei＿＿⑪
を仮定する。あとは、②～⑧までの手順を同じように行うと、最後の⑦⑧の代わりに⑫⑬となる。
A= (nΣxiyi－ΣxiΣyi)/(nΣxi²－ΣxiΣxi)＿＿⑫
B= (Σxi²Σyi－ΣxiyiΣxi)/(nΣxi²－(Σxi)²)＿＿⑬

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/04 14:40

1. 最小二乗法。

2. Y の対数をとって最小二乗法。

「詳細に」はご自分でやってください。